Matematikk – en disiplin med skjønnhetsfeil

Matematikken står i en særstilling i den vitenskapelige verden. Mens teorier og lover i vitenskapen ellers må verifiseres med observasjoner, så er resultater og konklusjoner i matematikken sanne i kraft av logiske bevis. Allikevel er ikke matematikken absolutt fullkommen. I en gren av matematikken har noe gått fryktelig galt. Og det skyldes at matematikken ikke lever isolert uten påvirkning utenfra. Matematikken forvaltes av matematikere. Og matematikere er mennesker og menneskene tenker ofte irrasjonelt. Og de kan gi etter for ønsketenkning.

 Kort innføring i en kontroversiell teori

Den grenen av matematikken som det siktes til her har fått navnet mengdelære. Mentalt kan en samling av objekter oppfattes som en enhet. Objektene kan for eksempel være alle liketall (2, 4, 6, …) fra 1 til 100. En slik samling kalles en mengde. En annen mengde kan bestå av alle oddetall (1, 3, 5,…) fra 1 til 100. Det finnes en rekke operasjoner man kan foreta på mengder (snitt, union etc.), men vi skal ikke komme nærmere inn på disse. Så langt er alt problemfritt. Problemene oppstår først når man spør om det er mulig å samle alle objekter det er uendelig mange av i en mengde. Kan man danne en mengde av alle liketall for eksempel? Her er det at mange matematikere snubler. På grunn av den grunnfestede tro på at matematikken er perfekt, så kan de ikke tenke seg at man her står overfor et unntak: at endelige samlinger av liketall finnes, men ikke uendelige. Derfor har man valgt som et aksiom i mengdelæren at uendelige mengder finnes. Men hvordan kan man tenke seg at slike mengder dannes? En uendelig mengde kan ikke dannes sekvensielt dvs. ved at man inkluderer ett og ett objekt i mengden; da blir man aldri ferdig, så det er umulig. Men matematikerne tror de har funnet en løsning på dette: en slik mengde kan dannes simultant, dvs. at den kan dannes i en eneste operasjon. Men her er de blindet av sin ønsketenkning. For skal en uendelig mengde dannes i en eneste operasjon, så må man ha adgang til alle disse objektene før mengden dannes. Med andre ord, man må forutsette at en uendelig mengde er tilgjengelig på en eller annen måte for å kunne danne den. Man forutsetter altså konklusjonen, noe som logisk sett er uholdbart.

Men kanskje uendelige mengder finnes selv om man ikke kan tenke seg en måte å danne de på? Allerede rundt år 1900 påviste filosofen Bertrand Russell at det i alle fall var en samling objekter det var uendelig mange av, men som ikke kunne utgjøre en mengde. Uansett hvor mange objekter med den aktuelle egenskapen man puttet inn i en mengde, så kunne Russell vise at det fantes et objekt som ikke var inkludert. Man skulle tro at dette ga det matematiske samfunnet betenkeligheter med hensyn til andre uendelige mengder, men slik gikk det ikke. Uendelig mengder av tall, for eksempel, tror man fremdeles finnes. Og dette til tross for at det er like lett å bevise at mengden av alle heltall ikke finnes som det er å bevise at Russells mengde ikke finnes: La A være mengden av alle heltall (1, 2, 3,…) og N være det største heltallet i denne mengden. Da må det finnes et heltall N + 1 som ikke finnes i denne mengden. Dette problemet har man vridd seg unna ved å postulere, helt ukritisk, at det største heltallet ikke finnes. Det hadde vel vært mer logisk å postulere at verken mengden av alle heltall eller det største heltallet finnes.

 Merkelige konsekvenser.

Noen ganger kan det være av interesse å sammenligne mengder, man vil kanskje ønske å vite hva størrelsesforholdet mellom to mengder er. En måte å finne ut dette på er å telle. En annen måte er å pare sammen ett og ett objekt fra en av mengdene med ett og ett objekt fra den andre mengden. Hvis for eksempel alle objektene kan danne par, så må det være like mange objekter i de to mengdene. På denne måten kan man se (bevise) at det er like mange liketall fra 1 til 100 som det er oddetall. Men hva skjer hvis vi tar for oss mengden av alle heltall og sammenligner det med mengden av alle liketall. Jo, tilsynelatende kan man da danne par av alle tallene i disse to mengdene, tallet 1 i den første mengden kan pares med tallet 2 i den andre mengden og tallet 2 med tallet 4 osv. Men betyr det at det er like mange tall i den andre mengden som i den første? Ja, mange matematikere tror faktisk det, selv om det for folk flest virker nokså opplagt at det ikke kan være slik. Nå er det lett å se hvor feilen i resonnementet er. For skal konklusjonen godtas må det kunne dannes par av alle objektene og ikke bare av et tilfeldig utvalg som mange matematikere synes å tro. Men dette kan ikke skje sekvensielt, for da blir man aldri ferdig. Og hvis man forsøker å utføre paringen i én operasjon, så forutsetter det, hvis man skal lykkes, at det er like mange objekter i de to mengdene. Igjen står vi overfor et resonnement hvor konklusjonen må forutsettes for at det skal virke. Så igjen må konklusjonen forkastes.

Ved å anvende denne paringsmetoden kan man komme frem til andre forunderlige resultater. La oss tenke oss en uendelig lang perlekjede. Kjeden har vekselvis to hvite og en sort perle i det uendelige. Ingen vil være i tvil om at kjeden har dobbelt så mange hvite som sorte perler. Men etter paringsmetoden ovenfor kan man, utrolig nok, ved en enkel, uangripelig slutningsrekke bevise at kjeden har like mange hvite som sorte perler. – Og utvider vi denne paringsmetoden kan den brukes til å bevise at for eksempel en mengde av alle heltall opptil 100 har dobbelt så mange tall som mengden av alle liketall opptil 100. Man parer da sammen to og to tall fra den første mengden med ett og ett tall fra den andre. Men anvender vi denne utvidete metoden på de to uendelig mengdene nevnt ovenfor så kan det bevises at det er dobbelt så mange heltall som det er liketall, i motstrid til hva som ble påvist ovenfor. Ja, er paringsmetoden gyldig for uendelige mengder kan man jo bevise at det er N ganger så mange objekter i den ene mengden som i den andre for enhver verdi av N.

Reaksjoner

Nå er ikke alle matematikere tilhengere av denne mengdelære, heller ikke alle av de mest toneangivende (noen mener at antall skeptikere er økende). Den norske matematikeren Thoralf Skolem var kritisk. Og mange forfattere av matematisk-filosofiske bøker tar forbehold og utviser en smule forlegenhet når de kommer inn på visse sider av mengdelæren. Jeg har utgitt to bøker om de forvirrende tilstander i mengdelæren og har mottatt mange reaksjoner fra lesere. De fleste universitetsmatematikere er negative. Disse har kanskje undervist i gjeldende mengdelære i alle år og liker ikke å bli konfrontert med at det de har dosert er vranglære. En doktorgradsstudent forsvarte sitt valg om å være trofast mot gjeldende mengdelære med at det er ”en teori som modellerer slik vi (matematikere) tenker”. Denne påstanden kan neppe være særlig gjennomtenkt. En matematikk som er skjemmet av et titalls selvmotsigelser (det finnes mange flere slike enn hva som er nevnte i denne artikkelen) kan umulig være den ideelle for matematikere flest. Men det fines unntak. En universitetsmatematiker innrømmet at “Jeg tror ikke det er noen tvil om at Einbus mengdelære vil fjerne de fleste kjente paradokser/anomalier fra matematikken”. En matematikkstudent i Trondheim skriver at han er ”overbevist om at den konvensjonelle mengdelæren har håndtert uendelig feil”. Og hobby-matematikere er uten unntak begeistret for det kritiske lyset jeg kaster over det uendelige i mengdelæren.

Ordmagi

Så kan man spørre hvordan hovedstrømmen av matematikere kan leve med en matematikk med så mange selvmotsigelser. En grunn til dette er at de benytter seg av et velbrukt triks i sine fremstillinger av mengdelæren som dekker over svakhetene. Som bladet Illustrert Vitenskap skriver: Et klassisk tegn på en vitenskap som er på gyngende grunn er at ”de ofte bruker en selvkomponert terminologi og uklare beskrivelser for å skjule en vesentlig mangel på intellektuell substans”. Dette benytter også mengdeteoretikerne seg av. I lærebøker om mengdelære vil man aldri finne ordet selvmotsigelse. Det som jeg har kalt selvmotsigelse i denne artikkelen kaller disse for paradokser. Kommer man i et resonnement frem til en selvmotsigelse, ja, så vet alle og enhver at man har resonnert feil. Men står man overfor et paradoks, så er det straks mer uklart hva dette betyr. Og likeledes: man sier ikke at det er like mange liketall som det er heltall, man sier at disse to mengdene er likemektige. Likemektighet er et uanalyserbart begrep som ingen vil ha noe avklart forhold til. Ved å gripe til slike kunstgrep har dogmatikerne i matematikken gjort mengdelæren uangripelig.

One thought on “Matematikk – en disiplin med skjønnhetsfeil

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s