Nytt søkelys på mengdelæren

Ikke all matematikk handler om tall, men tall spiller en stor rolle i matematikken. Georg Cantor gjorde tallsystemet til et forskningsobjekt. Og som analyseverktøy i dette arbeidet valgte han mengdelæren, hvor han samlet tall av forskjellige kategorier innenfor enkle, lukkete områder som kalles mengder, og gjorde forskjellige analyser av disse. Blant annet var han opptatt av hvor mange det var av de forskjellige tall-kategoriene. Hva Cantor oppnådde så lenge han holdt seg til heltall (1, 2, 3, …) er blitt kritisk bedømt i et annet essay i denne bloggen. Her skal vi isteden se på hva Cantor fant ut da han forsøkte å bestemme antall reelle tall, dvs. desimaltall.

For å gjøre oppgaven mest mulig håndterlig valgte han i første omgang å se på desimaltallene mellom 0 og 1, dvs. de tallene som kan skrives som 0.xxx, hvor xxx står for ett eller flere (ja, gjerne uendelig mange) siffer. Dette synes å ha vært et klokt valg. Det er lett å forstå at Cantor først valgte å undersøke om det kanskje var like mange desimaltall i det gitte intervallet som det var heltall. Og det ville det være etter de slutningsreglene han valgte under analysen av heltallene, hvis man kunne danne enentydige par mellom heltallene og disse desimaltallene. Nå ser det ikke ut til at Cantor fant en konkret måte å foreta denne paringen på, dvs. hvilket desimaltall et tilfeldig heltall skulle pares med eller omvendt. Hadde han gjort det han kanskje vært litt mere kritisk til de konklusjonene han kom frem til. Men han tenkte seg i alle fall at man forsøksvis hadde funnet en måte å ordne de gitte desimaltallene på for eksempel i en kolonne til høyre og at man deretter kunne føye til heltallene 1, 2, 3 osv. i en kolonne til venstre. Og han forutsatte at ingen desimaltall forekom to ganger i høyre kolonne. Som sagt ble ikke et eneste desimaltall spesifisert. Spørsmålet var da om alle de gitte desimaltallene forekom i den tenkte høyre kolonne. I så fall kunne man slutte at det var like mange desimaltall som heltall. Men i følge Cantor, hvis man kunne finne ett eneste desimaltall som ikke fantes i den høyre kolonne, så kunne man slutte at det var flere desimaltall enn heltall.

 For å finne et slikt moteksempel anvendte Cantor sin berømte diagonalmetode, som viste at uansett hvordan man ordnet desimaltallene mellom 0 og 1 i høyre kolonne, så var det mulig å konstruere ett desimaltall som ikke kunne være i denne kolonnen. Han genererte dette desimaltallet siffer for siffer. Det første sifferet var forskjellig fra det første sifferet i første desimaltall i kolonnen, og generelt var det n-te sifferet forskjellig fra det n-te sifferet i det n-te tallet i kolonnen. Som man ser beveger man seg nedover høyre kolonne langs en diagonal. Og hvis dette førte frem og genereringen kunne avsluttes på en tillitvekkende måte, så måtte tallet som på denne måten ble dannet være forskjellig fra alle desimaltallene i kolonnen. Og i så fall hadde han funnet ett desimaltall som ikke fantes i den tenkte ordningen og kunne konkludere med at det måtte være flere desimaltall i det gitte intervallet enn heltall.

Nå skal vi se hva som skjer om vi starter med en konkret ordning av de aktuelle desimaltallene. La oss velge en ordning slik at hvert desimaltall i høyre kolonne på en måte er lik speilbildet av heltallet i venstre kolonne. For eksempel vil desimaltallet tilordnet heltallet 12345 da være 0.54321. Ordningen vil da starte slik (vi velger den skrivemåten å ikke ta med et uendelig antall nuller på slutten av desimaltallene):

1        0.1

2        0.2

.

 9        0.9

10       0.01

11       0.11

.

19       0.91

20       0.02

.                                                                                                   .

99       0.99

100      0.001

osv.

Vi merker oss at denne ordningen har den sympatiske egenskap at for hvert tilfeldig heltall vi velger vil vi lett se hvilket desimaltall det er tilordnet, og omvendt, uansett hvilket desimaltall (i alle fall med et endelig antall desimaler) vi velger, så ser vi straks hvilket heltall det er tilordnet. Videre er det nokså lett å se at alle desimaltallene med et bestemt antall siffer etter desimaltegnet vil finnes i høyre kolonne. La N stå for et bestemt antall slike siffer. Hvis N = 100 vil alle desimaltallene med 100 sifrer bak desimaltegnet være der og det samme hvis N = 1000. I det hele tatt for hvilket som helst verdi av N, så vil dette gjelde, også når N går mot uendelig. Hvis vi da benytter oss av den innarbeidede regel i matematikken som sier at hvis noe gjelder for alle verdier av N når N går mot uendelig, så må det også gjelde for N lik uendelig, så har vi bevist at det må være en perfekt match mellom heltall og desimaltall i intervallet mellom 0 og 1. Derfor må mengden av alle disse desimaltallene være tellbar, det må være like mange av dem som det er heltall. Dette er da stikk i strid med hva Cantor påstod.

 Men hva med for eksempel desimaltallet for brøken 1/3 = 0.333…? Hvilket heltall skal dette tilordnes? Her står vi overfor det problemet at vi ikke har en representasjonsmåte for uendelige heltall. Så vi vil aldri klare å uttrykke helt eksakt det heltallet vi søker etter. På samme måte som vi heller ikke kan uttrykke dette desimaltallet helt eksakt med siffer. Men vi kan representere dette heltall ved følgende skrivemåte: …333. Dermed har vi introdusert en skrivemåte for uendelige tall: alle tall med tre prikker foran første siffer er et uendelig tall. Man kan selvfølgelig diskutere om dette er legitimt, men vi tillater i alle fall at tre prikker på slutten av et desimaltall står for et uendelig antall siffer, så hvorfor skal ikke dette også gjelde for heltall? Da oppnår vi i alle fall symmetri i måten vi representerer tall på, og symmetri regnes gjerne som en positiv egenskap av matematikere. Jeg har ikke sett denne notasjon brukte i matematiske tekster, men det kan ikke utelukkes at noen andre har anvendt den i enkelte situasjoner. Disse uendelige tallene er imidlertid ikke de samme som de hyperreelle tallen som forekommer den matematiske disiplin som har fått navnet ikke-standard analyse.

Men hva med Cantors diagonalmetode? Den gir seg jo ut for å bevise at det finnes ett desimaltall som ikke finnes i en hvilken som helst ordning og dermed også i den foreslåtte ordningen. Ja, gjør den egentlig det? Det tallet som blir generert i beviset dannes sekvensielt. Men siden det er et uendelig antall desimaltall i ordningen, så vil man aldri komme til det siste desimaltallet. Derfor kan ikke dette tallet antas å eksistere. Det er veldig svakt av Cantor å ikke innse dette.

 Men vi kan si mer enn det: Ser vi på det desimaltallet som etter hvert genereres (av den overforstående ordningen), så kan vi f.eks. få følgende rekke underveis: 0.2, 0,21, 0 211,… Vi ser da umiddelbart at det første tallet er nr. 2 i oppstilling, det neste tallet er nr. 12 og tredje tallet er nr. 112. Men alle disse desimaltallene vil finnes i oppstillingen (men lenger og lenger nede i denne), og det vil gjelde for alle desimaltall som genereres underveis. Men da må dette gjelde også for det siste tallet (hvis dette finnes). Så det mulige siste tallet må derfor finnes i oppstillingen.

Tilslutt, la D være mengden av alle desimaltall mellom 0 og 1, og la oss danne en mengde av alle desimaltallene i den høyre kolonnen og kalle mengden for K. Ethvert tall i K vil altså finnes i D. Cantor påstår han har funnet et desimaltall som er i D, men ikke i K og slutter derved at det er flere desimaltall i D enn i K. La videre H være mengden av alle heltall og P være mengden av alle partall. Ethvert tall i P vil finnes i H. Men det vil finnes i alle fall ett tall i H som ikke finnes i P, for eksempel tallet 1. Men med den logikken Cantor anvender i diagonalmetoden så skulle det da være flere heltall enn partall. Men dette har han jo vist på annen måte ikke er riktig. Det ser ut som Cantor velger slutningsregler etter hva han ønsker å komme frem til. Men for meg ser det ut som om vi står overfor en ny selvmotsigelse i Cantors mengdelære.

 Cantor kalte det uendelige tallet som står for antall elementer i tellbare mengder for א (null) (tekstsystemet tillater ikke at den hebraiske bokstaven alef skrives med subskript). Og antall desimaltall kalte han for c. c mente han var av en høyere orden enn א (null). Et spørsmål som allerede Cantor reiste var om det finnes et uendelig tall,  א (en) mellom  א (null) og c. Dette ble formulert som en hypotese, kalt kontinuumshypotesen, som gikk ut på at det ikke fantes et slikt uendelig tall. Men ingen så ut til å klare hverken å bevise eller motbevise denne hypotesen. Hypotesen ble helt siden den ble fremsatt viet stor oppmerksomhet og på den meget omtalte liste over de mest prominente uløste matematiske problemer som Hilbert i år 1900 satte opp, figurerte denne hypotesen først på listen. Helt til 1938 motsto denne hypotesen alle forsøk på oppklaring etter sikkert utallige forsøk. Men dette året viste Gødel at mengdelæren var konsistent om man forutsatte at kontinuumshypotesen var sann. Man kunne for eksempel godt velge denne hypotesen som et nytt aksiom i en utvidet mengdelære uten at det skapte problemer. Dette var kanskje ikke så bekymringsfullt i første omgang, men da Paul Cohen i 1963 beviste det motsatte, nemlig at mengdelæren var konsistent også om man forutsatte at kontinuumshypotesen var usann, skapte dette naturlig nok en viss forvirring blant mengdeteoretikere. Kontinuumshypotesen kunne altså hverken bevises eller motbevises. Men hva betyr dette? Det er i alle fall ikke noe sunnhetstegn for mengdelæren. Jeg overlater til tilhengerne av gjeldende mengdelære å finne ut av dette.

Men hvis den ordningen vi forslår for desimaltallene mellom 0 og 1 er gyldig, så må jo c =  א (null). Men dermed er jo kontinuumshypotesen bevist: det finnes ikke et uendelige tall א (en) mellom א (null) og c.

 Nå viser erfaring at det er vanskelig å få tilhengere av gjeldende mengdelære til å gi opp sin tro på læren. Noen av disse, ja, kanskje de fleste, vil etter å ha lest dette essayet trolig fortsette å tro at forskjellen mellom antall desimaltall og antall heltall ikke kan angis med et endelig tall eller at det bare er uendelig mange flere desimaltall enn heltall. Nei, ikke om man ganger antall heltall med uendelig, er man i nærheten av antall desimaltall. Av desimaltall er det så ufattelig mange at det er vanskelig å uttrykke det med ikke-matematiske termer. Det er to forskjellige størrelsesordner det er snakk om. Og de vil fortsatt tro at av den observasjon at det er oppdaget ett eneste desimaltall som ikke finnes i en bestemt forsøksvis ordning av desimaltallene, så kan man trekke den konklusjon at det må være et ufattelig mye større antall desimaltall enn det er tall i den gitte ordningen. Det er nemlig dette Cantor påstår.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s