En naturlig mengdelære

I to essayer i denne bloggen har jeg påpekt enkelte sider ved gjeldende mengdelære (GML) som etter min mening virker kontraintuitive og uholdbare, og jeg har forsøkt å påvise at dette, for det første skyldes at enkelte forutsetninger som gjøres i teorien er feilaktige, og for det andre at enkelte resonnementer og bevisførsler er feilaktige. Jeg har påstått at om det finnes en universell mengdelære, dvs. en mengdelære som er gjeldende på planeter i andre solsystemer, så er den ikke lik den dominerende mengdelære på jorden i dag.  Begge disse essayene avstedkom en livlig debatt på et forum på nettstedet skepsis.no, spesielt den første, Matematikk – en disiplin med skjønnhetsfeil, som tok for seg heltallene og dens undermengder. Denne debatten var nyttig for meg fordi den viste hvordan forsvarerne av GML tenker. Den førte også til at jeg måtte korrigere noen av mine egne oppfatninger. Dessverre ga den ikke svar på hvorfor disse matematikerne ikke er i stand til å tenke seg at det kan være noe galt med denne mengdelæren. Ikke en eneste av debattantene synes å vurdere dette som en mulighet. Og dette selv om de godt vet at det er mange matematikere rundt omkring i verden som er i opposisjon til GML og har forsøkt seg på andre tilnærminger.

På leting etter den universelle mengdelære

I dette tredje essayet skal jeg først oppsummere noen innslag i debatten så langt. En undertone i mine innlegg i debatten var at det må finnes en annen og enklere mengdelære som er fri for disse kontraintuitive slutningene og som er mer i tråd med den universelle mengdelære. En av grunnene til at det ikke er så lett å påvise feil i GML, er at den ikke har noen nytteverdi. Og det gjelder spesielt den delen som har med uendelige tall å gjøre og i særdeleshet den delen som befatter seg med uendelige reelle tall. Som regel vil en feilaktig teori avsløres ved at den fører til feilaktige resultater når den anvendes på praktiske problemer. Men for den delen av GML som har med det uendelige å gjøre finnes det nesten ingen praktiske anvendelser. Og dette er nok grunnen til at teorien har overlevd i over 80 år.

Jeg skal på slutten av dette essayet lansere noen tanker om hvordan jeg tror den universelle mengdelære vil være. Den vil være identisk med GML så lenge vi holder oss til det endelige domene, men vil avvike ganske mye når vi går over til det uendelige. Den vil ikke ha noen resultater som kan se ut som selvmotsigelser og som jeg ovenfor har kalt kontraintuitive. I denne lære vil det for eksempel være dobbelt så mange heltall (1, 2, 3, …) som partall (2, 4, 6, …). Siden dette synes mer naturlig enn at det er like mange partall som heltall slik det er i GML, så har jeg valgt å kalle denne læren for den naturlige mengdelære (NML). Denne mengdelære vil være enkel og upretensiøs, den vil ikke ha de merkverdige og litt gåtefulle sider som GML har, for eksempel at det på en linje hvor heltallene inkludert primtallene er avmerket, så vil det være like mange primtall som heltall, eller at det finnes reelle tall av uendelig mange størrelsesordner. Siden menneskenaturen er slik at vi ofte foretrekker å tro på det unaturlige frem for det naturlige – vi tror på UFO-er, parapsykologiske fenomener og på konspirasjonsteorier – så vil GML gjerne ha en større appell til mange enn NML.

Argumenter brukt i forsvaret av GML

Jeg nevnte at den debatten som vi nå har lagt bak oss ga meg innsikt i hvordan forsvarerne av GML tenker. Jeg skal nevne noen av argumentene som ble brukt, for å vise hvor sterkt immunforsvar GML har mot at nye tanker skal få innpass. I forbindelse med spørsmålet om komplette uendelige mengder finnes ble det henvist til en uendelig mengde som Bertrand Russel definerte og som viste seg å ikke være komplett (det fantes minst ett element som ikke var i mengden). For å redde den mengdelæren, som da var gjeldende, fra dette som ble regnet som en selvmotsigelse, så føyde man til et aksiom i teorien som ikke tillot slike mengder å forekomme i GML. En av debattantene forsvarte dette med å si: «Det kan vel knapt være et ankepunkt mot en teori at den ikke tillater eksistensen av en mengde som umiddelbart leder til en selvmotsigelse?» For meg ser dette ut til å være en ad hoc-løsning, og jeg tror ikke den tilfredsstiller Poppers krav til god teoridannelse. Det er ikke galt å tilpasse en teori slik at man unngår selvmotsigelser, men her dreier det seg om et objekt som teorien er utviklet for å håndtere og operere på, og som altså ikke får forekomme i teorien.

La P være mengden av alle partall og H mengden av alle heltall. I GML vises det at det er like mange partall som heltall ved at det kan dannes enentydige par mellom tallene i de to mengdene. Dette antas ikke å være en selvmotsigelse fordi man ikke står overfor en slutning A samtidig som man har en slutning ikke A. Men det er også mulig danne enentydige par mellom ett og ett tall i P og to og to tall i H, noe som må bety at det er dobbelt så mange tall i H som i P. Her har man først A: like mange og deretter ikke A: dobbelt så mange. Men dette går ikke forsvarerne av GML med på er en selvmotsigelse. Noen mente også at ideen med å danne en-mot-to par på denne måten var helt uinteressant i GML, til tross for denne selvmotsigelsen. En av debattantene skrev: «Jeg vil gå lengre, og hevde at det ikke er noe selvmotsigelse i å si ‘det finnes en mengde som har fem ganger så mange elementer som mengden selv’». Man får av dette styrket sin mistanke om at GML er ufalsifiserbar. Det synes ikke mulig å avlede noen resultater i GML som tilhengerne vil gå med på er en selvmotsigelse.

I mitt andre essay, Nytt søkelys på mengdelæren, demonstrerer jeg en ordning av alle desimaltallene mellom 0 og 1 som viser at disse kan danne enentydige par med alle heltallene og dermed vise at det må være nøyaktig like mange av de nevnte desimaltallene som det er heltall, i motstrid med hva Cantor påstod. Denne pardannelsen er så iøyenfallende at det strengt tatt bare er tilstrekkelig å beskrive hvordan et tilfeldig valgt desimaltall danner par med sitt heltall, for å se at dette vil gjelde for alle desimaltall. Allikevel, i det første, korte svarinnlegget minner en debattant oss om at Cantor viste at uansett på hvilken måte man ordner disse desimaltallene på, så vil man ikke ha alle desimaltallene i ordningen. Underforstått: da kan ikke alle desimaltallene finnes i den ordningen jeg foreslår heller. Men dette beviste Cantor ved hjelp av den såkalte diagonalmetoden, og i mitt essay viste jeg at diagonalmetoden ikke har den virkning som mengdeteoretikerne tror. Jeg forsøkte å vise dette ved flere resonnementer uten at det synes å ha gjort noe inntrykk, men skal nå prøve ett til. La oss tenke oss at vi til å begynne med bare holder oss til desimaltall (mellom 0 og 1) med opptil 100 siffer bak desimaltegnet og ordner disse i en kolonne. Denne kolonnen vil da inneholde 10100 desimaltall. Så danner vi etter Cantors diagonalmetode et tall med 100 sifre som er slik at det ikke er lik det første tallet i kolonnen, heller ikke lik det andre tallet osv. til tall nr. 100. Etter Cantor’s logikk mener man da å ha funnet et tall som heller ikke finnes i de 10100 – 100 øvrige tallene, hvilket selvfølgelig er helt absurd. Og dette vil bli mer og mer ekstremt etter hvert som vi skalerer dette opp og øker antall siffer, forskjellen i antall mellom de desimaltallene som blir plukket ut når moteksemplet blir generert og de øvrige desimaltallene vil bli større og større, og dette vil selvfølgelig også gjelde når antall siffer er uendelig og vi har fått med alle desimaltallene.

Man kan undres hvorfor Cantor ikke oppdaget dette selv. Men en grunn er nok at han ikke hadde tilgjengelig en konkret ordning av desimaltallene. Han opererte med en tenkt ordning og det hemmet ham nok. Det blir som å operere i mørket. Befinner man seg i et mørkt kjellerrom er det ikke så lett å finne ut hvordan rommet er utformet og hva som befinner seg der. Blir lyset slått på ser man alt klarere. Med den ordningen av desimaltallene som jeg foreslår, kommer lyset på, og det er lettere å se at diagonalmetoden ikke virker.

Hvorfor prosastil?

En av debattantene mener at mine innlegg ligger på «et presisjonsnivå som gjør det vanskelig å argumentere mot». Jeg skal ikke bestride det. Og det skyldes vel at jeg uttrykker meg i prosastil og ikke på stammens språk. Men dette gjelder vel først og fremst de som er skolert i matematikk. Men jeg henvender meg også til legfolk som ikke er bevandret i matematikk. For det forumet hvor denne debatten utspilte seg (skepsis.no) er vel ikke bare beregnet for matematikere (og mengdeteoretikere). Det første essayet var forresten en artikkel publisert i et magasin stort sett beregnet for pensjonister på Solkysten i Spania og jeg ville neppe fått artikkelen utgitt om jeg holdt meg til matematisk formalisme i presentasjonen. Nå er jeg fullt ut innforstått med at jeg svekker min argumentasjon ved å uttrykke meg i prosa, leseren får lett inntrykk av at jeg er en dilettant som ikke behersker de matematiske uttrykksformer. For å rette opp dette inntrykket, vil jeg nevne at jeg har hovedfag i matematikk fra UiO. Jeg har også skrevet 16 artikler i velrennomerte internasjonale tidsskrifter hvor jeg selvfølgelig fulgte de vanlige normene ved presentasjon av matematisk stoff. (Ingen av disse artiklene var om mengdelære, de fleste hørte inn under temaene numerisk matematikk og operasjonsanalyse).

Det forundrer meg imidlertid litt at noen har så vanskelig for å forstå meningen med det jeg skriver. Min kone som ikke kan noe mer matematikk enn folk flest, leser noen ganger mine matematiske tekster skrevet i prosastil, og etter hva jeg forstå så skjønner hun mesteparten av det. Men hun har ikke det handicapet at hun har en forhåndsoppgjort oppfatning om hvordan mengdelæren skal være.  Så når det kommer til stykket, er grunnen til at det er vanskelig å argumentere mot det jeg skriver, kanskje ikke presisjonsnivået, men ganske enkelt at GML er vanskelig å forsvare.

Den naturlige mengdelære i et nøtteskall

Nå omsider kommer jeg til den naturlige mengdelæren (NML), og skal legge frem noen av de trekkene ved denne som skiller den fra GML. Jeg mener at de naturlige tallene eller heltallene ikke er noe som menneskene har funnet opp, de er gitt av naturen. De kan derfor ikke oppfattes som en mengde, men man kan danne mengder av de naturlige tallene. At det er et uendelig antall heltall er et postulat i NML. Men uendelig er et diffust begrep, og det kan for eksempel være uklart om det finnes bare ett eller om det finnes flere uendelige heltall? Derfor må man gå forsiktig frem når man trekker uendelige tall inn i teorien. GML tar det for gitt at man kan samle alle heltall, endelige og uendelige i en mengde. I NML tas ikke dette for gitt, bare som en mulighet som må undersøkes. En av debattantene mente at det var nok at man definerte noe i matematikken for at det skulle eksistere. Jeg tror de fleste vil innse at dette ikke kan gjelde generelt. I NML vil det være slik at om en mengde skal antas å eksistere må man vise hvordan den tankemessig kan dannes. Dette gjelder spesielt uendelige mengder som man ikke helt umiddelbart kan se hvordan kan dannes. I GML kan man vise til et postulat eller aksiom som sier at slike mengder finnes, men noe slikt finnes ikke i NML. Den mest nærliggende og kanskje eneste måten å danne for eksempel mengden av alle heltall på, er å innlemme ett og ett tall i oppadstigende rekkefølge i mengden til man kommer til det siste tallet. Men man ser da umiddelbart at dette aldri vil ta slutt. Og det ikke bare på grunn av tiden det tar. Selv om vi regner med at tallene kan innlemmes uten tidsforbruk får vi aldri lagt inn det siste og største tallet. For tror vi at vi har klart det og det største tallet er N, så vil N + 1 ikke finnes i mengden.

Så vi kan altså ikke danne mengden av alle heltall og det samme vil da gjelde alle undermengder av heltall som det er uendelig mange av. Men siden uendelige tall er nyttige i mange grener av matematikken, så vil det være kontraproduktivt å ikke tillate uendelig heltall i NML. Man står fritt til å velge så mange uendelige heltall man vil og operere på disse i NML. Men det siste og største heltallet vil ikke tillates i mengder i NML, for dette tallet kan man ikke nå på noe vis. Og det er heller ikke slik at man kan samle alle uendelig heltall bortsett fra ett eneste som ikke kan nås, det vil være et ukjent antall uendelige heltall som ikke kan nås. I GML vil det største heltallet ikke finnes, i NML vil det største heltallet finnes, men det kan ikke opereres på fordi man ikke kan fange det opp. For de fleste deltakere i debatten synes den første muligheten å være helt naturlig og selvfølgelig, dette er noe de har fått inn med morsmelken (dvs. i den første forelesningen i mengdelære), men den siste mulighet er de ikke i stand til å tenke seg er mulig.

Det kan se ut som om forskjellen mellom GML og NML ikke er særlig stor i denne henseende.  Men vi ser nå lett hva vi oppnår med denne lille forskjellen. Siden mengden av alle heltall og mengden av for eksempel alle partall ikke finnes i NML, så kan vi ikke lenger konkludere med at det er like mange partall som heltall, og noe tilsvarende gjelder selvfølgelig for alle andre undermengder av heltall. Dermed ble vi kvitt alle de kontraintuitive resultatene vi fant i GML. I NML vil det ikke være så interessant å sammenligne antallet i uendelige mengder. Men det er klart at har vi et uendelig antall heltall fra 1 og opp til 2*N (hvor N er et uendelig tall) i én mengde og alle partall fra 2 og opp til 2*N i en annen mengde, så vil det være dobbelt så mange tall i heltalls-mengden som i partalls-mengden. I NML trenger vi heller ikke et ad hoc aksiom som ikke tillater Russels mengde, denne mengden er blant alle de uendelige mengder som ikke finnes.

La D = 0.493375…, hvor de tre prikkene står for en uendelig serie med siffer, være et tilfeldig rasjonalt eller irrasjonalt desimaltall. Dette regnes som et legitimt tall både i GML og NML selv om vi ikke kjenner noen av sifrene de tre prikkene står for. I NML er også …573394.0 et legitimt tall. De tre prikkene står også her for en uendelig serie med siffer og tallet må derfor være uendelig stort. Skrives dette som heltall får vi …573394. Vi vil si at disse tallene er speilbildene til hverandre. Dette synes å være en naturlig utvidelse av tallsystemet; ved denne presentasjonsformen oppnår vi blant annet symmetri i måten vi presenterer tall på. Vi ser også at ved denne utvidelsen, så er det lettere å innse at det er uendelig mange uendelig store heltall, noe som er en grunnleggende antagelse i NML. En av grunnene til at ingen tydeligvis har tenkt på at heltall med ledende tre prikker kan representere uendelig tall, skyldes vel at hvert nytt siffer her representerer noe som blir større og større og vokser etter hvert over alle grenser og blir derfor helt uhåndterlige, mens de tre prikkene idesimaltallene representerer siffer som etter hvert har mindre og mindre signifikans. Men oppfatter vi disse sifferseriene som symboler og ser bort fra hva de enkelte sifrene står for, så blir det vanskeligere å begrunne at det ene symbolet kan aksepteres, men ikke det andre.

I NML er det selvfølgelig ikke mulig å samle alle desimaltall mellom 0 og 1 i en mengde, fordi man aldri kommer frem til et siste desimaltall. Men, og dette er litt ironisk, siden ethvert helt tilfeldig heltall, endelig eller uendelig, har et speiltall blant desimaltallene mellom 0 og 1 og ethvert tilfeldig desimaltall mellom 0 og 1, rasjonalt eller irrasjonalt, har et speiltall blant heltallene, så synes det nokså opplagt at det må være like mange av de angitt desimaltallene som det er heltall. Dette er da stikk i strid med hva som gjelder for GML. Men siden en tall-linje består av uendelig mange intervaller på 1 enhet (mellom 0 og 1 og mellom 1 og 2 osv.), så er det uendelig ganger så mange desimaltall på en tall-linje enn det er heltall. Men dette vil være et helt ordinært uendelig tall. I NML har vi ikke uendelig tall av forskjellige størrelsesordner. Og alle disse א –ene som Cantor innførte vil man ikke finne igjen i NML.

Nå vil man sikkert vente at jeg skal si noe om ordinaltallene, men jeg har dessverre ikke utviklet noen teori om disse.

En definisjon som fører GML på aveie

Spørsmålet om hva som skjer i overgangen fra endelige tall og til uendelige tall blir ikke besvart i NML. Om det siste heltallet etterfølges av det første uendelige heltallet eller om de endelige heltallene går gradvis over til de uendelige heltallene har jeg ikke noen mening om. Kanskje spørsmålet er feil stilt. Men oppsummert vil heltallene i NML bestå av 1) et endelig antall heltall, 2) et uendelig antall uendelige heltall som kan innlemmes i en mengde (blant disse vil det være et største heltall) og 3) et uendelig antall uendelige heltall som ikke kan innlemmes i en mengde. Dette siste har noen tilhengere av GML vanskelig for å godta, ja, de skjønner nesten ikke hva jeg mener. Men det de tror på i stedet er at alle heltall kan innlemmes i en mengde, men samtidig at det ikke vil finnes et største heltall i denne mengden. Dette faller helt naturlig for dem å tro på. Men den sistnevnte påstand er det ikke mulig å bevise, den er gitt pr. definisjon og er en nødvendig konsekvens av den første påstanden. Vi har tidligere nevnt at man ikke kan definere noe som ikke logisk kan finne sted eller eksistere. Gjør man det kan man få de merkverdigste resultater. Danner man en mengde av endelige heltall, så vil det ikke være mulig å tenke seg at mengden ikke har et tall som er større enn alle andre. Og dette må da vel også gjelde mengder av uendelige heltall. Så ved å anta at det største heltallet ikke finnes har man definert noe som logisk ikke kan forekomme. Noen vil da kanskje si at denne antakelse jo gir troverdige resultater i GML. Ja, gjør den egentlig det? Det sies at hører man en løgn mange nok ganger, så vil man til sist tro på den. Og hører man at det er like mange partall som heltall mange nok ganger og man vet at alle andre tror på dette, så vil man selv til slutt tro på det. Men det er ikke mindre merkverdig for det. Og dette merkverdige resultatet skyldes at man har definert at det største tallet ikke finnes.

En ny situasjon

En av debattantene begrunnet sin holdning til noe han trodde på, men ikke kunne bevise med at «man ikke har noe valg». Dette kan nå ikke lenger gjelde, man har et valg. Man har et valg mellom to mengdelærer. Den ene, GML, bygger på to fundamentale villfarelser. Den første går ut på at man kan ha samlinger av heltall uten at denne samling har et største tall. Denne villfarelsen har som konsekvens at uendelige mengder eksisterer og i neste omgang førte dette til en mengde merkverdige og fornuftsstridige resultater om størrelsesforhold mellom mengder. Den andre villfarelsen går ut på at det finnes uendelig mange flere desimaltall mellom 0 og 1 enn det finnes heltall. Dette førte til et matematisk fantasi-univers hvor man finner en uendelig rekke uendelige tall av høyere og høyere størrelsesorden, men som ingen ting har med virkeligheten å gjøre. På grunn av disse villfarelsene blir GML en ganske komplisert teori og en elementær lærebok i læren kan være på mellom 100 og 150 sider. Den andre mengdelæren NML, som ennå ikke er fullt utviklet, vil trolig kunne beskrives på rundt 10 sider. Den en enkel, stort sett selvinnlysende og har ingen fantasieggende egenskaper. Det eneste ved denne læren som krever tankeovervinnelse er at man ikke kan nå, fange opp eller få tilgang til alle uendelige tall, man kan fange opp nesten så mange man ønsker, men man kan ikke fange opp alle. Derfor kan man ikke i NML danne mengden av alle heltall for eksempel. Prinsippet til Occam, også kalt Occams razor, sier at har man valget mellom to forklaringer eller teorier, så skal man velge det enkleste. Dette alene skulle tilsi at man velger NML.

Et mulig fremtids-scenario

Med NML blir ikke mengdelære en egen gren av matematikken. Den vil bare kunne bli nevnt i forbifarten når andre matematiske teorier blir presentert. GML vil da bare ha historisk interesse. Og i bøker om matematikkens historie vil nok Cantor blir omtalt, tenkeren som førte tre generasjoner matematikere bak lyset.

Et mer realistisk fremtids-scenario

Men dette er ønsketenkning fra min side. Slik vil det nok ikke gå, i alle fall ikke i denne omgang. Med det engasjement og den skråsikkerhet som mine motdebattanter viste, er det lite som tyder på at noen av disse er åpen for å revurdere sin holdning til GML (eller ZFC som de vil kalle læren). Bare en av debattantene kom meg litt i møte. Man skulle kanskje tro at medlemmer av skeptikerforbundet – ikke nødvendigvis ville være skeptisk til GML – men i alle fall være litt åpen for andres skepsis. Men slik er det ikke. At GML er feilfri kan ikke rokkes ved. Jeg har likevel den tro at en eller annen gang i fremtiden vil en matematiker med større autoritet enn meg, komme frem til at alt ikke er som det bør være i GML og legge grunnen til en universell mengdelære. Og at GML ikke vil overleve 80 år til.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s