Tok Gødel feil?

I første halvdel av 1900-tallet oppstod det to dypt alvorlige kriser i matematikken. Den første av disse krisene manifesterte seg i begynnelsen av århundret da det etter hvert ble oppdaget flere paradokser i mengdelæren. Den norske matematikeren Thoralf Skolem var en av dem som fikk et paradoks oppkalt etter seg. Noen begynte å undres over om matematikken var av en slik natur at den hadde innebygde selvmotsigelser. Den andre krisen oppstod i 1931 da den østerrikske matematikeren Kurt Gødel publiserte en artikkel som beviste at det finnes sanne matematiske setninger som det ikke er mulig å utlede på basis av et sett aksiomer forutsatt at aksiomene ikke motsier hverandre. Den setning som Gødel viser ikke kan bevises, men som han likevel godtgjør er riktig, er

S1: «Denne setning kan ikke bevises».

Det forholdet som her ble avdekket kalles gjerne Gødels ufullstendighetsteorem, og kom nok som et sjokk på de fleste matematikere. Teoremet viser tilsynelatende at det er grenser for hva man kan utlede fra et sett aksiomer.

Disse krisene gjorde enkelte matematikere desillusjonerte og det påstås at det er denne tilstand som har ført til at mange av disse matematikerne er blitt formalister. Det har, vil de si, ingen hensikt å søke etter den platoniske matematikken, siden den så tydelig har sine defekter. La oss heller utforme en matematikk uten disse defektene (sier formalistene), men en slik matematikk vil da nødvendigvis være oppfunnet.

Men er disse krisene så ødeleggende som disse matematikerne vil ha det til? Paradoksene i mengdelæren er det iallfall ingen problemer med å bli kvitt hvis man er villig til å fire litt på kravet om perfeksjon. Man må da ikke lenger insistere på at altinkludrende uendelige mengder kan dannes. Dette burde ikke være et større offer for matematikerne enn det var for astronomene å måtte fire på kravet om at jorden var sentrum av universet. Riktignok var nok dette en traumatisk erkjennelse for enkelte astronomer, men i dag er det ingen som føler seg ukomfortabel med denne tilstand. Når det gjelder Gødels teorem, så er det ingen grunn til å fortvile fordi om det finnes sanne setninger som ikke kan bevises. Grunn til å fortvile er det vel bare hvis man føler at man fullstendig har mistet kontrollen med matematikken, og at den anomalien som Gødel oppdaget skaper en generell usikkerhet om alt annet i matematikken. Men det burde ikke være vanskelig å se under hvilke omstendigheter setninger som ikke kan bevises kan forekomme. Studerer vi den setningen Gødel valgte, så ser vi umiddelbart at setningen forteller noe om seg selv. Den sier ikke noe om forhold utenfor setningen. Dette bør være et holdepunkt. Kanskje er det bare setninger som refererer til seg selv som ikke kan bevises. I så fall har vi jo begrenset antall setninger som kan skape problemer ganske drastisk. Disse setningene lever på en måte sitt eget liv, de er hver for seg systemer helt isolert fra all annen matematikk. Det eneste de forteller er noe om seg selv, det er ingen forbindelseslinjer mellom dette ensetnings-systemet og matematikken utenfor. Man står altså overfor to selvstendige systemer som er isolerte fra hverandre. I det ene systemet, la oss kalle det system G, utfører Gødel sin analyse. Det andre systemet, som vi kan kalle system H, inneholder bare en selvrefererende setning. Man bør kanskje ikke i en slik situasjon vente at man i system G skal kunne bevise en påstand i system H. Gødel gjør seg stor flid med å definere det systemet han skal foreta sin analyse i, det må være konsistent og det må inneholde heltallssystemet. Men han sier lite om systemet med den selvrefererende setningen, han antar tydeligvis at denne setningen tilhører system G.

Ser vi på noen andre setninger i matematikken, slik som 1) aritmetikkens fundamentalteorem som sier at et tall bare kan faktoriseres på en måte hvis man ser bort fra faktorenes rekkefølge, 2) at det finnes uendelige mange primtall, 3) at en vilkårlig vinkel ikke kan deles i tre like store deler med passer og linjal og tusenvis av andre matematiske teoremer, så påstår alle disse setninger noe om det systemet Gødel valgte å foreta sitt bevis i, og disse setningene kan da også bevises i dette systemet. Men S1 påstår ikke noe om dette systemet og kan derfor heller ikke bevises i systemet.

For å se at det er en vesensforskjell mellom S1 og alle andre setninger eller påstander i matematikken, kan vi se på de to påstandene

P1: «13 er et primtall”     og     P2: «13 er et primtall”.

Begge disse påstandene har samme innhold, de sier noe om forhold utenfor selve påstandene og har man bevist P1 har man også bevist P2. Slik er det imidlertid ikke med S1 og

S2: «Denne setning kan ikke bevises»

for har man bevist den ene av disse setningene, så har man ikke logisk sett også bevist den andre. For S1 sier bare noe om S1 og ikke noe om S2 og S2 sier bare noe om S2 og ikke noe om S1. Riktignok vil det være slik at har man bevist S1, så kan man bruke samme metode for å bevise S2, men det er noe helt annet. S1 og S2 er påstander i hvert sitt autonome system og man kan i prinsippet danne uendelige mange slike påstander som hver representerer og sier noe om sitt eget system, men som ikke sier noe om forhold utenfor systemet. Av denne grunn vil man ikke kunne oppnå å gjøre Gødels system komplett ved å tilføye S1 og eventuelt S2 som aksiomer i systemet. Man vil alltid kunne danne nye setninger som ikke kan bevises i systemet.

Som et apropos til dette kan man spørre om hvilket kardinaltall de to mengdene, A og B har. hvor A er en mengde som inneholder setningen “13 er et primtall” ti ganger og B inneholder setningen “Denne setning kan ikke bevises” ti ganger. A inneholder den samme påstand ti ganger, mens B inneholder ti forskjellige påstander, men begge mengdene har elementer som er helt identiske i form. At A har kardinaltall 1 synes nokså opplagt, men om B har kardinaltallet 1 eller 10 vil avhenge av om det er formen eller innholdet som er bestemmende.

Gødels ufullstendighetsteorem burde altså ikke være problematisk for matematikken. Finner man derimot noen gang en setning som påstår noe om det systemet man har tenkt å foreta analysen i og som vi kan se er riktig, men som likevel ikke kan avledes i systemet, ja, da vil vi ha et problem. Men ingen har gjort det hittil, så vidt jeg vet. Gødels teorem har derfor ingen konsekvenser for annen matematikk og kan bare betraktes som en kuriositet i matematikkens historie.

Men hva med setningen

S3: «Denne setning består av seks ord»?

Her står man også foran en selvreferende setning, men denne setning kan bevises i G. Så det er altså ikke nok å påvise at en setning er selvrefererende. Grunnen til at denne setning kan bevises i G er at setningen referer til et antall og dette er et begrep i G. Og dermed knyttes en forbindelse mellom S3 i G og dette er øyensynlig nok til at S3 kan bevises i G. Men kan man ikke opprette en tilsvarende forbindelse mellom S1 og G, for eksempel ved en tilføyelse, slik som i

S4: «Denne setning kan ikke bevises i G»?

Tilføyelsen “i G” ser ikke ut til å være tilstrekkelig til å plassere S4 i G. S4 sier egentlig det samme som S1, for i S1 er det underforstått at det er i G setningen ikke kan bevises.

Men hvilke konsekvenser har denne nye innsikten om Gødels ufullstendighetsteorem? En av konsekvensene er at det bilde som både almenheten og matematikerne hadde før 1931 om matematikken som et fullkomment logisk system, nå kan gjenopprettes. Matematikken er blitt kvitt en ganske skjemmende skjønnhetsflekk. En annen konsekvens er at man nå kanskje kan børste støv av Hilberts program om hvordan sikker matematisk viten kan erverves. Hilbert hadde den visjon at sikker og i prinsippet fullstendig matematisk erkjennelse kan bygges opp nærmest på mekanisk vis på basis av et sett aksiomer og et sett regler for hvordan det, som aksiomene påstår, kan omdannes, typisk gjennom flere trinn, til teoremer. Det må settes en rekke krav til aksiomene, til avledningsreglene og til teoremene for at programmet skal fungere: de må være fullstendige, de må være 100 % pålitelige og de må kunne formaliseres – de må altså kunne uttrykkes i et presist symbolspråk. Hvis disse kravene er oppfylt i en matematisk disiplin, så skulle i prinsippet alle mulige teoremer som implisitt ligger i aksiomene avledes. Som man skjønner vil ikke dette programmet uten videre kunne gjennomføres hvis Gødels ufullstendighetsteorem gjelder, for da vil det kunne finnes sanne teoremer i den angjeldende disiplin som ikke kan avledes av aksiomene. For ordens skyld må det nevnes at setningen S1 er såkalt velformet: den kan uttrykkes helt presist i et dertil egnet symbolspråk. Men dette er ikke nok til at S1 utsier noe om G.

Etter betraktningene ovenfor er det imidlertid ikke fritt fram for å gjennomføre Hilberts program, matematikken har fremdeles minst en setning, S1, som ikke kan bevises etter dette programmet. Men betraktningene kan kanskje resultere i at vi kan finne kriterier for hvilke setninger som kan bevises etter Hilberts program og hvilke som ikke kan bevises. For å kunne plassere en setning i G er det for eksempel ikke nok at den er velformet. Og klarer vi det vil matematikken komme ut av den forlegenhetssituasjon som den har vært i siden 1931.

Kort oppsummert er utfallet av disse betraktningene om Gødels teorem følgende tre enkle utsagn:

  1. Det er kun påstander om forhold (sammenhenger, egenskaper etc.) innenfor et matematisk system som man a priori kan vente å kunne bevise i systemet. Påstander om forhold utenfor systemet kan man i utgangspunktet ikke vente å kunne bevise i systemet.
  2. Setningen “Denne setning kan ikke bevises” sier ingen ting om det systemet som Gødel definerer i sitt bevis. Man må derfor ikke ta det for gitt at setningen kan bevises i dette systemet.
  3. Det finnes setninger om forhold utenfor Gødels system som kan bevises i systemet, men dette skyldes at disse setningene har elementer fra systemet i seg. At slike setninger finnes kan altså ikke brukes som indikasjon på at utsagn 1 er feil.

Første del av utsagn 2 er kanskje det punkt som er lettest å akseptere. Og har man først akseptert dette punkt, så bør man heller ikke ha så store motforestillinger mot utsagn 1. Men de observasjoner som utsagn 3 refererer til kan likevel gjøre at man stiller seg tvilende til utsagn 1.

Selvfølgelig er ikke siste ord sagt om Gødels ufullstendighetsteorem etter disse betraktningene. Noen lesere vil sikkert si at analysen ikke er uttømmende. Og det kan nok være riktig, men betraktningene vil kanskje kunne danne grunnlaget for en uttømmende analyse. Andre lesere vil sikkert kontant avvise konklusjonene. Men disse vil måtte erkjenne at ufullstendighetsteoremet er et sårt punkt i matematikken, og noe de gjerne ville ha vært foruten. Derfor kan det være en ide å reflektere litt over det som er sagt ovenfor før man feller den endelige dom.

***

          Status for jordens matematikk kan oppsummeres slik:

–          Dens mengdelære var kontroversiell helt fra starten. Man forsøkte å gjøre den respektabel ved en ad hoc-løsning uten å lykkes helt. Ikke alle matematikere har tillit til læren.

–          Gødels ufullstendighetsteorem gjør at Hilberts program ikke er gjennomførbart.

–          Vi kan også ta med forvirringen omkring kontinuumshypotesen. Første viste Gødel at mengdelæren var konsistent om man forutsatte at kontinuumshypotesen var sann. Deretter beviste Paul Cohen det motsatte, nemlig at mengdelæren også var konsistent om man forutsatte at kontinuumshypotesen var usann.

         Er disse observasjonene riktige kan vi konkludere med at den jordiske matematikk ikke er perfekt, den har sine skjønnhetsfeil. Min ambisjon er å gjøre denne matematikken perfekt, og jeg har gjort noen forsøk på å oppnå dette. Noen av leserne vil si at jeg ikke har lykkes særlig godt med dette, men jeg kan ikke klandres for å forsøke. Det må være mer respektabelt å forsøke å rette opp svakheter, enn å holde fast ved det som synes å være mantraet til deltakerne på dette skepsis-forumet nemlig: «vi ønsker ikke en perfekt matematikk, vi vil beholde den vi har på jorden i dag». Denne holdningen kan ikke betegnes på annen måte enn som bakstreversk.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s