Om Primtall

Matematikere trekker mange forskjellige tallklasser ut av det de kaller sitt heltallssystem. En klasse tall skiller seg ut som særlig fascinerende for matematikere, en klasse som ennå ikke har avslørt alle sine hemmeligheter – og det er primtallene. Primtallene blir vi kjent med allerede på folkeskolen og er slike tall som ikke er produktet av to andre tall (bortsett fra 1 og seg selv, som en matematiker pliktskyldig vil tilføye). Plukker vi ut noen av det primtallene vi støter på først i sekvensen av heltall så får vi 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 21, 23, 29 …. Vi ser med en gang at disse tallene ikke danner noe iøyenfallende system, i den forstand at kjenner man ett bestemt primtall, så kan man ved en enkel formel beregne neste primtall. Men en ting ser vi umiddelbart: primtallene har bare ett liketall, nemlig 2.

Studerer man primtallene opp til 100 (eller 1000) vil man se at noen steder ligger primtallene tett, mens andre steder er det store sprang. Man kan undres over om dette er anomalier som bare forekommer i begynnelsen av talllinjen, men slik er det ikke. For eksempel fines det 10 primtall blant de 100 tallene som kommer før 10.000.000, mens det bare er to primtall blant de 100 tallene som følger etter.

I hver generasjon har det vært matematikere som har viet en stor del av sin tenkning til disse tallene. Og det vil det trolig fortsette med til det siste spørsmålet om primtall er besvart. En norsk matematker har gitt viktige bidrag til denne problematikken. Hans navn er Atle Selberg, og han navn dukker gjerne opp når historien om primtall omtales i matematiske verker.

Hvordan finner man primtallene?

La oss prøve å finne ut om et tilfeldig valgt tall, la oss si 771, er et primtall? Det er vel egentlig bare en måte å gjøre det på og det er å ta systematisk alle primtall i stigende rekkefølge og se om 771 er delelig med ett av disse. Det er ikke delelig med 2 men hva med 3? Noe husker vel fra sin skoletid at hvis tverrsnittet av et tall er delelig med 3, så er også tallet deleig med 3. Tverrsnittet av 771 er 7 + 7 + 1 = 15, og siden 15 er delelig med 3 så er 771 det også. Så 771 er ikke et primtall. Hva med 773? Det er lett å se at det hverken er deleig med 3, 5, 7 eller 11. Og med litt regning vil man se at det heller ikke gjelder for 13, 17, 23 og 29. Men hvor langt opp trenger vi å gå? Faktisk ikke lenger enn til 29 for siden 29 * 29 = 841, så vil, hvis 773 er et produkt av to tall, så må det ene tallet være mindre enn 29. Og vi har allerede undersøkt alle disse kandidatene. Så 773 må være et primtall.

Men skal vi bestemme alle primtallene under, la oss si 1000, på denne måten, så vil det kreve ganske mye beregning, iallefall om vi skal gjøre alt for hånd. Eratosthenes i det gamle Grekenland som altså ikke hadde adgang til datamakiner fant en lettere måte å gjøre dette på. Han skrev opp alle tallene fra 2 til 1000 på et papir. Så slo han en ring rundt tallene 2 og 3 og krysset av alle tall som var delelig med 2 og 3. Når det var gjort slo han en ring rundt det laveste tallet som ikke var krysset av, nemlig 5. Så krysset han av alle tall som var delelig med 5. På nytt slo han ring rundt det laveste tallet som ikke var krysset av (7) og krysset av alle tall som var delelig med dette tallet. Og slik fortsatte han. Da han var ferdig hadde han ringer rundt alle primtallene.

Kjente egenskaper ved primtall

Men ennå har vi ikke oppdaget noen egenskaper ved primtall. For eksempel om det finnes et største primtall eller om det er uendelig mange av dem. For å finne ut av det, la oss tenke oss at vi kjenner alle primtallene opp til et største primtall N, men vi vet ikke om det er noen større enn N. La oss så multiplisere alle de kjente primtallene. Vi får da et ganske stort tall M. Så plusser vi på et ett-tall og vi får M + 1. Uansett hvilket av de kjente primtallene vi forsøker å dele M + 1 med så få vi 1 til rest. Det betyr at enten er M + 1 et primtall eller så må M + 1 være delelig med et primtall større enn N. Altså finnes det et primtall større enn N. Enkelte matematikere og i det siste, dataeksperter, har satt sin ære i å finne det største, kjente primtallet. Etter hvert som datamskinene er blitt raskere og man har lært å operere i nettverk er stadig nye største, kjente primtall dukket opp. I 2009 ble en gruppe dataeksperter belønnet med en pris på 100.000 $ for å ha regnet seg frem til et primtall på 10 millioner siffer.

Så kan man spørre om det det finnes vilkårlige lange sekvenser av heltall som ikke er primtall. For eksempel om det finnes 100 heltall etter hverandre hvor ikke et eneste ett er primtall. For å få svar på det kan vi multiplisere alle tall mellom 1 og 101 med hverandre. Vi får da et enormt stort tall, M. Men så viser det seg at M + 2 må være delelig med 2, M + 3 delelig med 3 og generelt M + et hvilket helst tall, la oss si n, mellom 1 og 101 er delelig med nettopp n. Altså finnes det ikke et eneste primtall blant de 100 tallene fra M + 2 til M + 101.

En sekvens av tall med plusstegn i mellom, for eksempel 1 + ½ + 1/3 + ¼ + …, kaller vi en rekke. Tar vi med uendelig mange ledd i det valgte eksemplet, blir denne summen uendelig, og vi sier at rekken divergerer. Velger vi derimot rekken 1 + ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 +…, så vil denne summen bli 2 når vi tar med uendelig mange ledd. Denne rekken sier vi konvergerer. Det er altså mulig å tynne ut den første rekken slik at selv om vi fremdeles beholder uendelig mange ledd, så blir summen endelig. Men om vi tynner ut den første rekken slik at vi bare beholder primtall i nevneren, hva skjer da? Det kan bevises at denne rekken også divergerer, summen går altså til uendelig. Dette sier noe om antall primtall.

Men resultatene så langt er egentlig bare relativt ubetydelige kuriositeter. Det viktigste og dypeste spørsmålet som lenge opptok primtallsmatematikerne var hvordan primtallene er fordelt etter hvert som vi beveger oss utover tallinjen? Finnes det en funksjon som sier nøyaktig hvor mange primtall det er opptil et vilkårlig tall N? Gauss fant at funksjonen N/ln(N), hvor ln(N) er den naturlige logaritmen til tallet N, er en god tilnærming til antall primtall opp til N, i alle fall for den delen av tallinjen hvor man da kjente alle primtallene. Etter hvert ble det bevist at denne funksjonen gjelder generelt, og norske aviser slo i 1960-årene opp at Selberg hadde funnet et elementært bevis for denne funksjonen.

Ennå ukjente egenskaper
Vi vet altså mye om primtall. Men så kommer de spørsmålene som vi ennå ikke vet svaret på. Hvis to tall n og n + 2 begge er primtall kalles de for primtalltvillinger (for eksempel 21 og 23). Man har ikke klart å vise om det finnes uendelig eller bare endelig mange slike.  Goldbachs gjetning er et annet problem man ikke har klart å bevise. Denne gjetning sier at alle liketall (tall delelig med 2) er summen av kun to primtall. Man har ennå ikke funnet et liketall hvor dette ikke gjelder.

Nytteverdi
Lenge hadde matematikere den forståelse at man aldri ville ha noen praktisk nytte av primtallsforskningen. Forskningen var bare et spennende tidsfordriv. Men i 1970-årene fant man ut at man kunne bruke store primtall til å kryptere meldinger, for eksempel passord som man bruker til å identifisere seg når man kommuniserer med en bank over internett. Da kom plutselig en del av de resltatene primtallsforskerne hadde oppdaget til nytte. Ett av nøkkeltallene i denne krypteringsteknikken kan for eksempel bestå av et produkt av to primtall på typisk rundt 60 siffer hver. Selv om denne nøkkelen (som da vil ha ca 120 siffer) er kjent vil det ikke finnes datamskiner i dag som klarer å faktorisere dette nøkkeltallet innen rimelig tid og dermed finne de to primtallene. Dermed vil ikke passordet kunne avsløres

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s