Mot en paradoksfri mengdelære – del 2

Her følger del 2 av første artikkel om en paradoksfri mengdelære som, oversatt til engelsk, ble publisert i International Journal of Mathematics and Mathematical Concepts i juni 2014

2  En mulig ordning

Nå vil det fremdeles kunne være slik at Cantors påstand er riktig, dvs. at i ingen ordning av de aktuelle desimaltallene kan inneholde alle desimaltallene. Men la oss gjøre et tredje tankeeksperiment hvor vi ordner desimaltallene slik at vi i første omgang setter opp alle desimaltall med ett siffer etter desimaltegnet, i neste omgang følger alle desimaltall med to siffer bak desimaltegnet og videre slik at vi i N-te omgang setter inn alle desimaltallene med N siffer (her er de avsluttende nullene ikke inkludert). En ordning som sikrer at alle både heltallene og desimaltallene blir med kan for eksempel være

1        0.1
2        0.2
.
.
9        0.9
10       0.01
11       0.11
.
.
19       0.91
20       0.02
.
.
99       0.99
100      0.001
osv.

Lar vi da N gå mot uendelig, har vi tilsynelatende oppnådd en ordning av alle desimaltallene mellom 0 og 1.

Men kan vi dermed si at vi har funnet en avbildning av de aktuelle desimaltallene på heltallene. Ja, et stykke på vei, for eksempel kan desimaltallet 0.1234 avbildes på heltallet 4321 hvor altså heltallet er et slags speilbilde av desimaltallet. Men hvilke heltall avbilder desimaltallene 0.3333… eller 0.35091… i denne ordningen? Her står de tre prikkene for et uendelig antall kjente eller ukjente siffer. Dette er gjeldende skrivemåte for desimaltall mellom 0 og 1, 0.3333… kan for eksempel representere brøken 1/3.  Vi ser umiddelbart at avbildningen må være et uendelig heltall. Men dermed står vi overfor en alvorlig svakhet ved gjeldende tallsystem, vi har ingen representasjon av de enkelte uendelige heltallene. Vi har bare et enkelt symbol, ∞, som representerer et hvilket som helst uendelig tall, både heltall og desimaltall.

Man leser noen ganger om stammer i Amazonas-jungelen som teller 1, 2, 3, 4, mange. De har også regneregler hvor mange + 1 = mange og mange + mange = mange. Vi regner dette som et primitivt heltallssystem og har en viss medfølelse med disse primitive menneskene. Men dagens heltallssystem er ikke særlig mer avansert: det har først og fremst alle heltallene som kan skrives med et endelig antall siffer pluss et enkelt uendelig heltall, ∞, som er slik at ∞ + 1 = ∞ og ∞ + ∞ = ∞. Altså temmelig likt systemet fra Amazonas-jungelen.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s