Mot en paradoksfri mengdelære – del 3

Her følger del 3 av første artikkel om en paradoksfri mengdelære som, oversatt til engelsk, ble publisert i International Journal of Mathematics and Mathematical Concepts i juni 2014

3. En representasjon av uendelige tall

Nå skal vi introdusere et symbolsystem hvor alle symbolene består av en rekke med tre prikker og dernest en eller flere tallsiffer. To eksempler av disse symbolene er …3333 og …19053. Vi ser nå straks at alle desimaltall med ikkeavsluttende sifferrepresentasjon kan avbildes på dette symbolsystemet. For eksempel har vi avbildningene …3333 ↔ 0.3333… og  …19053 ↔ 0.35091…. Danner vi nå unionen av alle endelige heltall og alle mulige symboler i dette nye symbolsystemet, så ser vi at vi kan avbilde alle desimaltallene mellom 0 og 1 på denne unionen.

Spørsmålet blir da om dette nye symbolsystemet kan representere de uendelige heltallene. Her vil det selvfølgelig være delte meninger. Noen vil kanskje avise dette av ren refleks. Andre vil forkaste systemet fordi det ikke er forenelig med Cantos mengdelære eller gjeldende tallsystem. Men å si at …19053 ikke kan være et tall blir vanskelig å begrunne siden 0.35091… er et legitimt tall. Ved å la disse symbolene være tall, så oppnår vi symmetri i tallsystemet, og symmetri er ofte noe etterstrebelsesverdig både i matematikken og vitenskapen for øvrig. At man ikke kan plassere …19053 på en tall-linje kan ikke være avgjørende, tallet ∞ kan heller ikke plasseres der. Relasjoner mellom slike tall kan man ikke alltid bestemme, for eksempel hvilket er størst av to tilfeldige slike tall. Men dette vil være helt urimelig å kreve, hvis man ikke vet hvordan de er dannet. Vet man derimot nøyaktig hvordan de er dannet, så kan man avgjøre hvilket som er størst. Det gir seg ikke selv hvordan alle de aritmetiske regnereglene kan anvendes på de nye tallene, men disse tallene er tross alt forskjellige fra de endelige tallene i sin oppbygning, så det ville være merkelig om ikke dette ga seg forskjellige utslag, kanskje at ikke alle regnereglene gjelder. Men det er ikke utenkelig at kreative matematikere finner gode løsninger på dette problemet. En positiv konsekvens av den foreslåtte utvidelsen av tallsystemet er at den gir ny innsikt i dette systemet og vil føre til en høyst påkrevet revisjon av gjeldende mengdelære. For ved å innlemme disse symbolene i heltallssystemet kan vi konkludere med at det er like mange heltall som desimaltall mellom 0 og 1, mens gjeldende mengdelære påstår at antall desimaltall er av en helt annen størrelsesorden enn antall heltall.

Personlig vil jeg oppfatte det som en gevinst at vi, matematikere, nå ikke lenger vil bli mobbet for å ha et tallsystem som er analogt med det som anvendes i jungelen i Amazonas.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s