En paradoksfri mengdelære – del 5

Her følger del 2 av andre artikkel om en paradoksfri mengdelære som, oversatt til engelsk, ble publisert i International Journal of Mathematics and Mathematical Concepts i juli 2014.

Mengdelæren under lupen

Vi har altså oppdaget en feilslutning i mengdelæren og vi har trolig oppklart et mysterium. Men som kjent har mengdelæren flere merkverdigheter, de såkalte paradoksene. Mengdelæren er et unntakstilfelle i matematikken i den forstand at den har en rekke resultater som man normalt vil kalle selvmotsigelser, men som man tildekkende kaller paradokser. Det mest kjente av disse paradoksene er Russels paradoks, men læren har flere slike. Veldig få matematikere synes å stille spørsmål ved denne tilstanden. Majoriteten aksepterer den som et faktum som vi ikke kan unnslippe.

Vi skal nå se på om denne tilstanden virkelig er uunngåelig, og tar først for oss noen resultater relatert til tallsystemet og som er så merkelige og usannsynlige at man av fornuftsgrunner ikke kan godta de. Ett av mengdelærens aksiomer er at det er mulig å samle alle naturlige tall i en mengde. Men hvis alle disse tallene er tilgjengelig i mengden, så må det vel finnes et tall der som er større enn alle de andre. Mengden må altså ha et største tall. Men slik er det ikke. Utrolig nok mente Cantor at det største naturlige tallet ikke finnes i det hele tatt, og dette har de fleste av hans etterkommere godtatt. Noen vil kanskje innrømme at man her står overfor et mysterium, men det virkelige mysteriet er at matematikere tror på dette. Vi skal nå se hvilke absurde konsekvenser denne troen fører til.

For å finne ut om det er like mange elementer i to forskjellige mengder kan man telle elementene og sammenlikne summene. Dette fører alltid frem når man har endelige mengder, men er mengdene uendelige, så kan ikke denne metoden brukes. Men Cantor fant en løsning for uendelige mengder. Ved å danne par mellom elementene i de to mengdene, og hvis det er slik at hvert element i den ene mengden kan danne et par med ett element i den andre mengden på en en-entydig måte, så må det være like mange elementer i de to mengdene. Og dette ser tilforlatelig ut, man ser lett at det må være like mange oddetall som heltall fordi hvert oddetal, n, kan pares med et liketall 2*n for alle n. Men velger man to andre uendelig mengder, for eksempel mengden av naturlige tall og mengden av primtall, så vil Cantors paringsmetode føre til at det er like mange naturlige tall som det er primtall. Og dette tror altså matematikerstanden på. Jeg for min del ville skamme meg over å fortelle mine barn at jeg tror på en matematikk hvor det er like mange primtall som naturlige tall. Noen vil forsvare sin fortsatte tro på dette primtallsparadokset, med at Cantors paringsmetode jo gir dette resultatet. Men det de da bør reflektere over er at det kanskje ikke er noe galt med paringsmetoden, men at det er noe galt med de forutsetningene denne metoden bygger på (for eksempel at alle tall av en eller annen kategori, som det er uendelig mange av kan samles i en mengde).

Men man kan oppnå noe anda mer meningsløst enn dette. Ved å utvide Cantors paringsmetode en smule, kan man for eksempel vise at det må være dobbelt så mange naturlige tall som det er liketall ved å pare hvert enkelt liketall med to naturlige tall, for eksempel 2*n kan pares med 2*n- 1 og 2*n. Og dette virker jo fornuftig. Men her ser vi lett at man kan bevise et hvilket som helt forhold mellom to uendelige mengder tall. Man kan for eksempel bevise at det er n ganger så mange liketall som det er oddetall for en hvilken som helst verdi av n, samtidig som man kan bevise at det er n ganger så mange oddetall som det er liketall for hvilken som helt verdi av n. Så ved å generalisere Cantors paringsmetode for uendelige mengder kan man finne så mange selvmotsigelser man ønsker. Og det finnes bare en fornuftig løsning på dette dilemmaet: Man må gi opp å tro på at alle elementer det er uendelig mange av kan samles i en mengde. Bildet som vi nå har manet frem om mengdelæren er veldig forvirrende, og kan ikke gjenspeile virkeligheten. Noe drastisk må gjøres, uendelighetsaksiomet må oppgis.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s