En paradoksfri mengdelære – del 6

Her følger del 3 av andre artikkel om en paradoksfri mengdelære som, oversatt til engelsk, ble publisert i International Journal of Mathematics and Mathematical Concepts i juli 2014

  1. Et nytt uendelighetsaksiom

Tre eksempler får være nok. De som fremdeles tror at Cantor hadde rett etter disse tre nokså avslørende eksemplene, må få lov til å fortsette leve og å dø i denne troen. Men for oss andre må uendelighetsaksiomet forlates. Men finnes det et alternativ? Man får inntrykk av at grunnen til at man har beholdt en mengdelære med alle dens paradokser, er at man ikke har funnet en måte å unngå dette på. Men dette er en dårlig og uforståelig unnskyldning. For i stedet for å postulere at det største naturlige tallet ikke finnes, men at alle naturlige tall likevel kan samles i en mengde, kan man postulere at det største naturlige tallet finnes, men at alle de naturlige tallene ikke kan samles i en mengde. Man blir altså aldri ferdig med å danne en slik mengde. Eller mer generelt: elementer det er uendelig mange av kan ikke samles i en mengde og vil ikke ha et siste element. Jeg vil ikke påta meg å bevise at alle paradokser forsvinner med disse nye aksiomene, men min gjetning er at de gjør det.

Med dette nye uendelighetsaksiomet vil det ikke være mulig å etablere et en-til-en-korrespondanse mellom mengden av naturlige tall, og mengden av primtall, fordi vi ikke har tilgang til alle de respektive tallene. Og hva som er kardinaltall må nå omdefineres.

  1. Kan irrasjonelle tall bli representert av desimaltall?

Vi skal til slutt ta for oss et tilfeldig irrasjonelt tall og se om den reviderte mengdelære kan gi oss ny innsikt om disse tallene. La oss velge d = SQRT(2) – 1 = 0.414213…. La oss danne en ordnet mengde M av desimaltall hvor det første tallet er 0.4, det andre tallet 0.41 og tall nr. N vil være et desimaltall som inneholder de N første sifrene i d etter desimaltegnet. Det sjette tallet vil da være 0.414213. Så lar vi N gå mot uendelig. Den reviderte mengdelære tillater at mengden M kan inneholde desimaltall med uendelig mange siffer, men den tillater ikke at denne prosessen avsluttes, så mengden vil ikke inneholde tallet d. Dette tallet finnes riktignok, men siden det aldri vil kunne inkluderes i mengden må vi slutte at det ikke kan skrives helt eksakt som et desimaltall. Og siden dette gjelder et tilfeldig irrasjonelt tall, så vil det også gjelde alle irrasjonelle tall. Og det er lett å se at dette vil også gjelde for alle rasjonelle tall (skrevet som desimaltall) med uendelig mange siffer. Så ingen av disse talltypene vil kunne representeres helt eksakt ved hjelp av en sifferrepresentasjon.

Begrepet tellbarhet kommer etter dette i et nytt lys. 1) De reelle tallene er ikke tellbare fordi alle slike tall ikke kan uttrykkes med en sifferrepresentasjon. 2) De rasjonelle tallene uttrykt som brøker er tellbare slik som Cantor har vist. 3) De rasjonelle tallene uttrykt som desimaltall er ikke tellbare fordi mange av disse ikke kan uttrykkes med en sifferrepresentasjon. 4) Alle tallene mellom 0 og 1 som kan uttrykkes med en sifferrepresentasjon, dvs. alle de desimaltallene som forekom i listen i [1] er tellbar.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s