En paradoksfri mengdelære – del 7

Her følger et utklipp fra et innlegg på forumet Matematikk.net.

La oss se på noen logiske resonnementer om mengdelæren:

  1. Cantor gjør følgende forutsetning: Det er mulig å samle alle heltall i en mengde. La oss kalle denne mengden for A.
  2. Enhver samling av heltall må ha ett tall som er større enn alle de andre tallene i mengden.
  3. Mengden A må derfor inneholde et tall som er større enn alle de andre tallene i mengden. La oss kalle dette tallet N.
  4. Siden N er større enn alle de andre tallene i A og A inneholder absolutt alle heltallene, så må N være det aller største heltallet.
  5. Men N + 1 må også være et tall. Og dette tallet må være større N.
  6. Men da kan ikke N være det største tallet i A. Vi kan ikke ha to tall N og N + 1 som begge er det største tallet i A.
  7. Siden vi her har støtt på en selvmotsigelse, så må en av forutsetningene være feil.
  8. Siden vi har gjort bare en forutsetning, nemlig den under punkt 1, så må denne forutsetning være feil.
  9. Konklusjon: Cantor tok feil: det er ikke mulig å samle alle heltall i en mengde.

Nå vil en matematiker med et desperat behov for å forsvare sine doktriner, kunne si at det er slutningen under punkt 2 som er feil. Det er jo det Cantor påstår. Han sier at det i alle fall finnes én mengde av heltall som ikke har et største tall, nemlig mengden av alle heltall. Cantor godtgjorde aldri denne antagelsen på en overbevisende måte. Beviset hans gjelder bare hvis man på forhånd kan være sikker på at mengden av alle heltall finnes og det er jo det vi setter spørsmålstegn ved her. La oss da se på et annet resonnement.

  1. La oss danne den uendelige mengden av alle heltall ved å føye til ett og ett heltall til mengden i oppadstigende rekkefølge.
  2. La oss anta at vi klarer å avslutte denne dannelsesprosessen.
  3. Uansett når vi avslutter denne prosessen, så må det siste tallet som vi føyer til mengden like før vi stopper opp være det største tallet i mengden.
  4. Dermed ser vi at vi ikke kan avslutte dannelsen av denne mengden uten at mengden får et høyeste tall.
  5. Den eneste måten man kan unngå at en mengde av heltall får et høyeste tall, er å fortsette å føye til tall i det uendelige.
  6. Men da blir vi aldri ferdige. Og det er nettopp det det foreslåtte aksiomet påstår.
  7. Konklusjon: Man når altså aldri det siste og største heltallet. Derfor kan ikke mengden av alle heltall dannes og kan derfor ikke finnes.

 

Den virkelige desperate matematiker vil da kunne påstå at hvis vi danner den uendelige mengden på en annen måte enn angitt i punkt 1, så kanskje vi finner ut at Cantor har rett. La oss gjøre et forsøk:

  1. La oss anta at den uendelige mengden av alle heltall kan dannes i en eneste operasjon.
  2. For å kunne plassere alle heltallene samlet i en mengde i en eneste operasjon, må samlingen av alle disse heltallene være tilgjengelige ett eller annet sted på utsiden av mengden.
  3. For å kunne samle alle heltallene ett sted (i en mengde) må de altså på forhånd eksistere samlet et annet sted (på utsiden av mengden).
  4. Men for at heltallene skal kunne eksistere samlet på sted nr. 2 må de på forhånd ha vært overført fra et sted nr. 3 osv.
  5. Vi står da overfor en uendelig regress som aldri vil kunne avsluttes.
  6. Konklusjon: Den uendelige mengde av alle heltall kan ikke dannes i en eneste operasjon.

 

Enkelte kristne tenkere har gjennom historien kommet med følgende uttrykk i fortvilelse over at de ikke har funnet et endelig bevis på at Gud eksisterer: Jeg tror på Gud fordi det er absurd. De matematikere som fremdeles holder fast ved Cantors mengdelære kan nå klynge seg til et tilsvarende uttrykk: Jeg tror på Cantors uendelighetsaksiom fordi det er absurd. Noe bedre argument tror jeg ikke de klarer å finne.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s