En paradoksfri mengdelære – del 9

Til K. som spør hvorfor jeg blir såret fordi ingen godtar hva jeg mener.

Jeg svarer gjerne på dine spørsmål. Men jeg tar meg ikke nær av at ingen godtar den mengdelæren jeg forslår. Det er ikke nytt for meg, så det er jeg forberedt på. Det jeg er lei meg for er at ingen synes å være villig til å gi denne mengdelæren en seriøs vurdering. Den blir bare forkastet uten noen form for refleksjon. Og jeg synes også det er trist er at det ikke synes å være mulig å få i stand en diskusjon i dette forumet som det sømmer seg akademikere. Hvor en problemstilling blir lagt frem av en initiativtaker og som han ønsker lesernes oppfatning om. En eller flere lesere som fatter interesse for emnet tar for seg påstander i startinnlegget og på en nøktern og saklig måte påpeker ett eller annet som vedkommende er uenig i og begrunner hvorfor. Og han kan eventuelt fremme sitt alternative syn. Og slik fortsetter det. I den videre utveksling av synspunkter og meninger er det viktig å avholde seg fra personkarakteristikker av de som deltar i diskusjonen. Selv om det noen gang kan være fristende, spesielt hvis man ikke klarer å finne saklige motargumenter.

Dette har vi ikke klart. Jeg har nok selv syndet litt her, men som forfatter av den boken som ble foreslått som diskusjonsemne, ble jeg kraftig provosert av to debattanter, den ene som påstod at forfatteren ikke visste hva han snakket om og den andre som påstod at jeg hadde skrevet boken i frustrasjon over dårlige karakterer. Den ene unnskyldte seg for uttalelsen sin, men debatten har likevel fortsatt uten at diskusjonsklimaet har endret seg.

Nå vil mine motstandere kunne si at jeg må være forberedt på en viss trakassering fordi jeg er så sta og aldri innrømmer at jeg har tatt feil. For siden de selv er 100 % sikre på at sakens kjerne, Cantors mengdelære, er ufeilbarlig, så fortjener jeg egentlig en slik reaksjon, vil de si. Ja, kanskje mine motstandere har rett og at jeg tar feil. Denne muligheten er selvfølgelig noe jeg hele tiden har vært bevisst på. Tross alt, den gjeldende mengdelære undervises på alle verdens universiteter, så hvordan kan jeg tro at alle matematikerne på all disse universitetene tar feil. Vel, jeg har tross alt en rekke grunner til min oppfatning. For å forklare hvorfor jeg ikke tror på gjeldende mengdelære må jeg gjenta meg selv litt.

  1. Cantors mengdelære møtte mye motstand i begynnelsen. Zermelo-Frankl’s versjon (ZFC) imøtegikk ikke alle innvendingene.
  2. Gjeldende mengdelære har en rekke selvmotsigelser også kalt paradokser. Dette anser jeg som en meget utilfredsstillende egenskap ved mengdelæren.
  3. Det er en kjent sak blant matematikere at ZFC inneholder et ad hoc aksiom hvis eneste hensikt er å unngå paradokser. I ZFC er det altså noen ekstra store mengder som ikke er tillatt. Og den eneste grunnen er at de fører til paradokser. Dette øker i alle fall ikke min tillit til ZFC.
  4. Mengdelæren mener å kunne påvise at det er like mange primtall som heltall. Dette er det umulig for meg å forstå og akseptere.
  5. Mengdelæren har som ett av sine aksiomer at alle heltall kan samles i en mengde. I et tidligere innlegg har jeg bevist at det ikke er mulig å danne denne mengden av alle heltall.
  6. Mengdelæren påstår at det største heltallet ikke finnes, selv om altså alle heltall kan samles i en mengde. Dette får jeg meg ikke til å tro på.
  7. Jeg har påvist en feil i Cantors diagonalmetode. En professor ved Trondheim universitet har gått god for dette beviset.
  8. I del 2 av en serie innlegg på min blogg om en paradoksfri mengdelære, har jeg vist hvordan alle desimaltall mellom 0 og 1 kan ordnes slik at alle tallene kommer med. Cantor påstår at dette ikke er mulig.
  9. Det mest kompromitterende for ZFC’s rennomè er vel det som skjedde med Cantors kontinuumhypotese. Den stiller et spørsmål om plasseringen av c (c = antall desimaltall) på tall-aksen. Hypotesen stod øverst på listen over de mest prominente uløste matematiske problemer som Hilbert i år 1900 satte opp. Helt til 1938 var hypotesen uoppklart. Men dette året viste Gødel at mengdelæren var konsistent om man forutsatte at kontinuumshypotesen var sann. Dette var kanskje ikke så bekymringsfullt i første omgang, men da Paul Cohen i 1963 beviste det motsatte, nemlig at mengdelæren var konsistent også om man forutsatte at kontinuumshypotesen var usann, skapte dette naturlig nok en viss forvirring blant mengdeteoretikere. Kontinuumshypotesen kunne altså hverken bevises eller motbevises. Men hva betyr dette? Det betyr at kontinuumshypotesen egentlig ikke hører hjemme i den tradisjonelle mengdelære, det er ikke meningsfullt å spørre om denne hypotesen er sann eller usann ned dens nåværende aksiomsystem. Men dermed kan vi føye til et nytt bevis på at mengdelæren ikke er komplett. Og det viser igjen hvor uanalyserbar mengdelæren er, den gir minimal innsikt, i stedet leder den sine utøvere helt på villstrå. Den forlegenhet som Gødel og Cohen satte mengdeteoretikerne i kan iallfall neppe tas som et sunnhetstegn for mengdelæren. Tvertimot den styrker en i ens mistanke om at det tallsystem som mengdeteoretikerne opererer med bare er et fantasiprodukt som ikke reflekterer virkeligheten slik den er.
  10. Man kan stille mange flere kritiske spørsmål om mengdelæren og noen av disse vil man kunne finne i de to bøkene i matematikk jeg har skrevet.

Alle disse tvilsomme sidene ved mengdelæren affekterer altså ikke hovedstrømmen av matematikere, de tror fremdeles fullt og fast på sin mengdelære. Men ikke bare det, de blir fryktelig krenket hvis en utenforstående finner på å påpeke disse tvilsomme sidene. Og de nekter å vurdere andre løsninger. Og man treffer nesten aldri på en matematiker som kan innrømme i det minste en eneste uheldig egenskap ved dagens mengdelære. Pinter i sin bok «Set Theory» er et hederlig unntak.  Til tross for dette mener jeg at dagens mengdelære er en villfarelse, og jeg tror at en gang i fremtiden vil verdens matematikere skamme seg over å snakke om dagens mengdelære.

Jeg håper etter dette at K. innser hvorfor jeg reagerer som jeg gjør. Han vil kanskje til og med ha en viss forståelse for det. Men det er ikke såret jeg er. Jeg er bare så oppgitt.

K, stilte også et annet spørsmål. Det skal jeg prøve å svare på neste søndag.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s