En paradoksfri mengdelære – del 13

I mitt blogginnlegg med tittel mot-en-paradoksfri-mengdelaere-del-3 introduserer jeg et symbolsystem av tall-liknende symboler hvor …4545 og …5454 er to av elementene.  Til å begynne med sier jeg ikke at disse symbolene er tall, men jeg sier at hvis vi danner unionen av alle endelige heltall og alle mulige symboler i dette nye symbolsystemet, så ser vi at vi kan avbilde alle desimaltallene mellom 0 og 1 på denne unionen. Desimaltallet 0.649 vil da kunne avbildes på heltallet 946 og desimaltallet 0.1234… kan avbildes på symbolet …4321. Spørsmålet da er om dette symbolsystemet + alle endelige heltall kan representere mengden av alle heltall, både endelige og uendelige. Dette er en debattant på matematikk.net uenig i, for som han sier, man kan ikke vite hvilket av de to tallene …4545 og …5454 som er størst. Men er det et krav om man skal vite alt om tall-liknende uttrykk for at det skal godkjennes som tall? Det er det ikke. Vi vet egentlig ikke så mye om desimaltallet 0.4545… heller. Vi vet for eksempel ikke hva det n-te sifferet er for n større enn 4. Men på tross av det, så vil ingen nekte for at dette er et genuint tall. Og grunnen til at vi ikke vet hvilket av de to tallsymbolene …4545 og …5454 som er størst er jo at vi ikke vet hvordan de er dannet. Hvis vi for eksempel vet at …5454 = …4545 + 909, så vet vi plutselig hvilket som er størst. Så det er mulig å sammenligne størrelsen på to tallsymboler hvis man vet hvordan de er dannet. Og hvis en matematiker i en eller annen sammenheng tar for seg to tilfeldige, endelige tall og kaller dem n og m, kan vi da ikke oppfatte disse symbolene som tall før vi får vite hvilket av de to som er størst. Svaret på det er selvfølgelig nei.

Og å si at for eksempel …19053 ikke kan være et tall blir også vanskelig å begrunne siden 0.35091… er et legitimt tall. Ved å la disse symbolene være tall, så oppnår vi symmetri i tallsystemet, og symmetri er ofte noe etterstrebelsesverdig både i matematikken og vitenskapen for øvrig.

Jeg vet selvfølgelig at disse nye tall-liknende symbolene ikke aksepteres i dagens matematikk. Men i det tallsystemet som assosieres med min foreslåtte mengdelære så representerer disse symbolene de uendelige heltallene. I denne mengdelæren er det da nøyaktig like mange desimaltall mellom 0 og 1 som det er heltall. I motsetning til hva Cantor mener. Dessuten forekommer ikke tallet ∞ i dette tallsystemet, og vi har ikke at ∞ + 1 = ∞ og 2 * ∞ = ∞. Og dette siste er da heller ikke særlig selvinnlysende.

Så kan man spørre om man kan utvikle en ny matematikk med denne representasjonen av uendelige tall og om denne matematikken er konsistent. Til det vil man kanskje svare, at man umiddelbart kan se at dette vil være en blindgate og at denne matematikk ikke vil gi noen interessante resultater. Men kan denne oppfatning skyldes at man er så vant til en matematikk med bare ett uendelig tall, at man ikke kan tenke deg noe annet? Det tror jeg nok er forklaringen. Og når det gjelder nytteverdi, så har vi jo allerede påvist et par interessante resultater i den foreslåtte matematikken, nemlig de som er nevnt i det forrige avsnittet, blant annet at alle desimaltall mellom 0 og 1 kan avbildes på heltallene og omvendt. En tredje positiv egenskap er at vi får symmetri i tallsystemet. Jeg foreslår at skeptikere reflekterer litt over dette nye tallsystemet før de feller den endelige dom og først prøver å finne ut litt mer om dette systemet. Kanskje det ikke er så ille som man tror.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s