En paradoksfri mengdelære – del 16 

Det er mange måter å imøtegå debattinnlegg på. Debattanten P fant ikke noe bedre svar på mitt forrige innlegg enn å påstå at vi «ikke har klart å komme frem til en felles forståelse og enighet om grunnleggende begreper». Nå vet jeg ikke hva han mener med grunnleggende begreper i denne forbindelse. Det han mener er kanskje at vi ikke har kommet til klarhet om hva vi egentlig diskuterer her. La oss derfor repetere litt om hva denne diskusjonen dreier seg om. Det er en diskusjon om hvilket av to konkurrerende matematiske teorier som har størst overbevisningskraft. Hvis vi tenker oss at det finnes sivilisasjoner andre steder i universet som også har utviklet matematikk, hvilken av disse to teoriene vil likne mest på hva vi kan kalle den universelle teori?

Den ene teorien, Cantors mengdelære, er en aksiombasert teori, den bygger på et aksiom, som intuitivt synes tilforlatelig, men som man faktisk kan bevise ikke kan være sant. Det viser seg at elementer det er uendelig mange av ikke kan samles i en mengde. Det er ikke mulig å tenke seg hvordan denne dannelsen kan avsluttes. Dermed kan heller ikke alle de resultatene som avledes av dette aksiomet være sant. Og det er lett å slå seg til ro med det, når man tenker på at alle disse resultatene både er merkverdig og kontraintuitive (paradokser, det største heltallet finnes ikke, men likevel kan all heltall samles i en mengde, det er like mange primtall som heltall, det finnes en uendelig rekke med uendelige alef-tall א 3א , 2א   א,  1א , 0א  osv. hvor hvert tall er av forskjellige størrelsesorden og har ingen ting med hverandre å gjøre, og i tillegg et tall c som ingen vet hvor befinner seg i denne tallrekken osv.).

Den konkurrerende teorien er ikke aksiombasert (selv om jeg vel har påstått det i et tidligere innlegg – det er for så vidt valgfritt). Den grunnleggende påstanden, nemlig at elementer det er uendelig mange av ikke kan samles i en mengde, kan bevises. Teorien som bygger på denne antakelsen vil være svert enkel, ha et tallsystem som kan forstås av en grunnskoleelev (kanskje bortsett fra den foreslåtte tallrepresentasjonen av uendelige tall) og de resultatene som avledes er plausible og lett forståelige. Mens en lærebok om Cantors mengdelære gjerne fyller opp fra 150 til 200 sider, vil en fullstendig beskrivelse av den alternative mengdelære kun kreve et kort kapittel. Noen vil kanskje bruke dette siste som et argument mot den alternative mengdelære, men jeg mener at det motsatte vil være mere riktig. Å trenge inn i Cantors mengdelære er som å bevege seg i en jungel. Man mister nokså fort oversikten og man får en følelse av å befinne seg utenfor virkeligheten.

Begge disse to teoriene påstår noe om det uendelige. Men her står man straks på gyngende grunn. En litt påfallende egenskap ved begge disse teoriene er at det de sier om det uendelige ikke har noen praktisk anvendelse. Og ingen av resultatene som avledes i de to teoriene om det uendelige kan verifiseres hverken i selve matematikken eller utenfor matematikken. Samler vi alle heltall mellom 0 og N i en mengde så kan man ved telling lett sjekke at det er flere heltall enn primtall i denne mengden. Har man derimot et uendelig antall heltall i en mengde kan man ikke det. Det eneste man kan si er at det er uendelig mange både primtall og heltall i mengden. Cantor trodde av dette faktum at det måtte være like mange primtall som heltall. Men her avslører Cantor sin fantasiløshet. Han tenkte seg ikke den muligheten at det kunne finnes flere enn ett uendelig tall. Jeg føler meg sikker på at i den universelle matematikk, så er det uendelig mange uendelige tall. Ett av disse uendelige tallene er antall primtall og et annet er antall heltall. Og de er forskjellige. Og siden null er det inverse at et uendelig tall, må det også finnes uendelige mange null-tall. Noen vil kanskje si at siden vi ikke har noen måte å uttrykke uendelige tall på, så kan disse tallene ikke finnes. Dette er igjen fantasiløst og åpenbart feil. For hvis det er slik at bare tall vi kan uttrykke eksakt ved hjelp at tallsiffer eksisterer så må vi godta at heller ikke e eller  finnes, for disse tallene kan vi heller ikke uttrykke ved tall-siffer. For hvis aksepteres som et endelig tall, så bør vel …6295141.3 kunne aksepteres som et uendelig tall. Her må matematikerstanden våkne opp og begynne å tenke nytt og mer realistisk.

Vi diskuterer altså ikke noen grunnleggende begreper her, det vi diskuterer et grunnleggende spørsmål. Hvilke at disse to teoriene korresponderer med den universelle mengdelære?

P foreslår at vi bør avslutte diskusjonen fordi vi ikke er kommet til enighet om grunnleggende prinsipper. Til det vil jeg si at ideen om å avslutte en diskusjon fordi man ikke er enig om noe virker nokså merkelig. Det er vel heller slik at man avslutter en diskusjon når man er enige, men fortsetter så lenge man er uenige. Så at P ønsker å avslutte debatten er vel egentlig en fallitterklæring. Han mangler effektive motargumenter.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s