En paradoksfri mengdelære – del 17  

Etter at vi nå har fått avklart hva det er vi diskuterer, kan vi nå gå et skritt videre og ved hjelp av spørsmål prøve å finne ut hvor stor tillit vi kan ha til de to konkurrerende teoriene.

Først to spørsmål om Cantors mengdelære. I et innlegg den 31. januar beskrev jeg problemet med kontinuumshypotesen som det altså viste seg ikke var mulig å finne ut av. Det var ikke mulig hverken å bevise eller motbevise at den hypotesen var sann. Spørsmålet er da: mener forsvarerne av Cantors mengdelære at skjebnen til denne hypotesen styrker eller svekker tilliten til Cantors mengdelære? Denne hypotesen finnes ikke i den alternative mengdelære.

Russels paradoks handler om en mengde av mengder med en spesiell egenskap. Siden alle slags uendelige mengder kan dannes i følge Cantor, så må den spesielle mengden som Russel definerer også eksistere. Men så viser det seg at om man tenker seg å ha samlet alle disse mengdene i en mengde, så finnes det en mengde som ikke er kommet med. Og føyes denne mengde til, så kan man finne en ny mengde som ikke er der. Altså kan ikke denne mengden dannes. Jeg har tidligere bevist at mengden av alle heltall ikke kan dannes. Dermed har vi to eksempler på mengder som ikke kan dannes. Zermelo og Fraenkel fant på en ny variant av Cantors mengdelære hvor blant annet Russels mengde er forbudt (de burde vel i samme slengen innført et aksiom som utelukker mengden av alle heltall fra mengdelæren også). Mener forsvarerne av Cantors mengdelære at denne måten å unngå paradokser på er fullt ut forsvarlig og svekker ikke tilliten til dagens mengdelære? Og at alle problemer med paradokser er løst ved dette aksiomet

Det neste spørsmål angår den alternative mengdelære. Finnes det noen resultater som kan avledes i den alternative mengdelæren, men som kan bevises å være feil? Eller er det ett eller annet teorem eller påstand som vi vet er riktig, men som ikke kan avledes i den alternative mengdelære?  Hvis en debattant finner ett eller flere overbevisende moteksempler her, så trekke jeg tilbake min tiltro til den alternative mengdelære. Hvis ikke, hvorfor skal jeg ikke fortsatt ha tiltro til denne læren? Å si at man ikke bør tro på den alternative mengdelære fordi den motsier Cantors mengdelære er litt for lettvint og overbeviser ikke. Så jeg må spørre: hvorfor i all verden skal jeg begynne å tro på Cantors mengdelære når jeg er bevisst alle de defektene som assosieres med denne læren. Det er utrolig naivt av en av debattantene å nærmest kreve dette når ingen så langt har påvist en eneste defekt ved den alternative mengdelære.

Det ser ut som det er stor interesse for akkurat denne debatten på dette forumet (jeg referere her til diskusjonsforumet på Matematikk.net). På bare en uke ser jeg at antall visninger har øket med over 400. Og selv om det sikkert er mange gjengangere i denne statistikken, så er antallet imponerende. Men det er bare noen få som bidrar til debatten. Det kunne være interessant om flere uttalte seg, siden mange tydeligvis er interessert i det som diskuteres.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s