En paradoksfri mengdelære – del 18   

Debattant E skriver at dersom min mengdelære ikke er aksiombasert, vil jeg ikke kunne bevise noe som helst i dette systemet, «for det må finnes en første setning i teorien». Men jeg sier i et tidligere innlegg at det er valgfritt om man vil si at den alternative mengdelære er aksiombasert eller ikke. I de lærebøkene jeg la opp i matematikk i min studietid var det ingen som startet med aksiomene som lå til grunn for teorien i bøkene. Men det ligger vel noen aksiomer til grunn i all matematikk, så jeg er ikke uenig i det som E sier.

Ellers minner E oss om at også andre har tenkt på muligheten for mer enn ett uendelig tall. Og han nevner spesielt p-adiske tall. Ja, i enkelte matematiske tekster forekommer p-adiske tall, men de hører ikke hjemme i hovedstrøms-matematikken. De finnes helst i noen eksotiske avarter av matematikken. Det er mulig jeg tar feil, men jeg kan ikke huske noen lærebøker i mengdelære hvor disse er nevnt. Men kanskje i nyere bøker. Nå gjør ikke jeg krav på å være alene om å foreslå tallrepresentasjoner av uendelige tall, så det er ikke noe nederlag for meg at noen andre opererer med slik tall. Tvert imot, jeg ser det positive ved det, siden jeg da bør kunne vente at det vil være lettere for E og andre å akseptere min tallrepresentasjon av uendelig tall. Andre matematikere har jo tenkt i de samme baner. Men jeg har riktignok ikke sett at noen har foreslått den spesielle representasjonen som jeg foreslår (…4321) . Dessuten foreslår jeg at denne representasjon hører hjemme i den elementære matematikken og spesielt i mengdelæren. Jeg venter nå at de som tror på p-adiske tall også vil være tilhengere av at det finnes uendelig mange uendelig store tall.

*********

Debattant V nevner, som et ledd i forsvaret av Cantors mengdelære, det berømmelige hotellet med uendelig mange rom. En kveld hvor alle rommene er fylt med gjester kommer det en ny gjest. Denne gjesten får man plass til ved å flytte gjesten(e) i rom 1 til rom 2, gjesten(e) i rom 2 til rom 3 og fortsetter slik til alle gjestene har fått et nytt rom, og alle gjestene er fornøyde. Det har alltid forundret meg at så mange både matematikere og andre lar seg dupere av dette resonnementet. De lar seg faktisk overbevise om at vi her står overfor en egenskap ved det uendelige som man ikke vil finne i det endelige. For i et hotell med endelige mange rom kan man ikke frigjøre et rom på den måten. Man mener vel da, at ved å påvise en forskjell mellom det uendelige og det endelige i det aktuelle tilfelle, så vil det være lettere å tro på andre merkelig egenskaper ved det uendelige, for eksempel at en uendelig mengde av heltall ikke har et største heltall og kanskje at det er like mange primtall som heltall.

Feilen i resonnementet med hotellet med uendelig mange rom er den samme som jeg har påvist flere ganger i denne debatten. Man nevner bare det som skjer i den endelige delen av hotellet. Da ser jo alt tilforlatelig ut. Men man sier ikke et ord om hva som skjer når man kommer til den uendelige delen. Og ikke minst hvordan prosessen avsluttes. Hvis man reflekterer over det, så ville man oppdage at man aldri kommer til det siste rommet, man vil fortsette og fortsette å flytte gjester til evig tid. For hvis flyttingen avsluttes, så har jo ikke hotellet et uendelig antall rom. Men så vil kanskje noen si at flyttingen fra ett rom til det neste kan skje simultant. Og da må man kunne anta at prosessen vil avsluttes. Men når prosessen da er avsluttet, så er det slettes ikke opplagt at alle gjestene har fått hvert sitt rom. Det er ikke vanskelig å tenke seg at i alle fall en gjest da ikke har fått et sted å overnatte. For hvordan tenker man seg denne flyttingen i den delen av hotellet med høyest romnummer?  Man kan selvfølgelig forsøke seg med det litt søkte argumentet at dette hotellet ikke har et siste rom. Men da er det enda vanskeligere å tenke seg hvordan en simultan flytting av alle gjestene vil kunne skje. Jeg tror ingen da kan bevise at alle gjestene får et rom.

Så hotellparadokset styrker ikke Cantors mengdelære.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s