En paradoksfri mengdelære – del 19

I et innlegg på  Matematikk.net gir debattant V meg et ultimatum. Hvis jeg ikke klarer å overbevise ham om at Cantor tok feil, så bør jeg «holde kjeft» og trekke meg ut av denne debatten. Et mer desperat forsøk på å få det siste ordet i en debatt skal man vel lete lenge etter. Og bør ikke samme regel gjelde for ham selv? Han har ikke klart å overbevise meg om at jeg tar feil.

Nå vil det vel være slik at skal man bli overbevist om at noe er feil, så må man i utgangspunktet være åpen for denne muligheten. Jeg tror ikke denne forutsetning foreligger hos V i dette tilfelle. V vil nok bli overbevist om at Cantor tok feil, hvis flertallet av matematikere tror det, men argumenter alene vil ikke være tilstrekkelig.  Han holder seg til flertallet.

Han krever at jeg i min bevisførsel skal ta utgangspunkt i mengdelærens aksiomer. Men hva om det er i selve aksiomene at feilen ligger? Et aksiom er noe som er selvinnlysende, noe som ikke behøver begrunnes eller bevises. Nå skal vi se hva Cantor og dagens mengdeteoretikere mener er selvinnlysende.

  1. De mener det er selvinnlysende at alle elementer av en bestemt kategori som det er uendelig mange av kan samles i en mengde (for eksempel alle heltall) og at man kan foreta operasjoner på denne mengden. Jeg mener at skal man anta at noe eksisterer i matematikken, så må man kunne tenke seg en måte å danne dette noe på. Hvis man ikke klarer det, så kan man ikke foreta noen operasjoner på, eller trekke noen slutninger om det som man mener eksisterer. Så lenge ingen har vist hvordan man kan tenke seg å danne komplette uendelige mengder kan man ikke anta at slike eksisterer. Så det er altså ikke selvinnlysende at komplette uendelige mengder finnes.
  2. Zermelo og Fraenkel innførte et aksiom som utelukker alle mengder som ga opphav til selvmotsigelser. De mente altså at det var selvinnlysende at det må være fullt tillatt med ad hoc aksiomer i en matematisk teori, aksiomer hvis eneste hensikt er å unngå selvmotsigelser. Selv oppfatter jeg dette som en form for juks.

At to aksiomer i mengdelæren ikke er selvinnlysende sanne, men tvert imot er selvinnlysende usanne eller i alle fall tvilsomme, burde være tilstrekkelig for å dempe V’s selvsikkerhet en smule. Men vi kan også ta for oss et par feilslutninger som skjemmer mengdelæren.

  1. Det systemet av uendelige tall (alefer) som Cantor innførte ser ikke ut til å ha noe med virkeligheten å gjøre. Han kalte antall av desimaltall for c, men så viser det seg at det ikke er mulig å finne ut hvor dette tallet befinner seg i dette tallsystemet.
  2. I https://john.einbu.no/2015/11/29/mot-en-paradoksfri-mendelaere-del-1/  foreslår jeg en ordning av alle desimaltall mellom 0 og 1 som jeg påstår inneholder alle disse tallene. Man ender selvfølgelig opp med et uendelig antall desimaltall i ordningen. Og etter hvert som man går nedover i ordningen vil også antall sifrer i tallene øke og dette antallet går også mot uendelig. Jeg mener at vi her har med to uendelige størrelser å gjøre, det uendelige antall desimaltall man ender opp med er mye større enn det uendelige antall siffer man ender opp med. Derfor får ikke ordningen en kvadratisk form og dermed vil ikke Cantors diagonalmetode kunne anvendes.

Jeg forkaster altså den delen av mengdelæren som utsier noe om uendelige mengder som etter min mening ikke finnes. Dette vil gjelde en ganske stor del av en lærebok i mengdelære. Jeg godtar heller ikke en matematisk teori som må ty til ad hoc aksiomer for å unngå selvmotsigelser. Og jeg anklager matematikerstanden for ikke å ha tatt et oppgjør med mengdelæren da det i 1963 kom for dagen at Cantors kontinuumhypotese hverken kan bevises eller motbevises. Alle burde ha skjønt at det var noe dysfunksjonelt med en slik teori. Og siden Cantors diagonalmetode ikke gjelder, så vil alt som kan avledes av den forkastes. Så etter dette blir det ikke så mye igjen i en lærebok i mengdelære som har relevans.

Jeg tror jeg nøyer meg med dette. Jeg har nå nevnt fire egenskaper ved dagens mengdelære som samlet gjør at jeg forkaster læren (jeg kunne ha nevnt flere). Men jeg har ingen forhåpninger om at dette vil påvirke V på noen måte. Han lever i sin egen verden hvor mengdelæren er en perfekt teori, og han er ikke i stand til å se noe som er tvilsomt med den. Som man vil se er det stort sett gjentagelser av ting jeg har skrevet før. Men det var V som ba om det her.

Til slutt: Jeg føler meg egentlig som en varsler. Og en varslers skjebne er å bli forhatt av de som varslet gjelder for. Det er noe jeg må prøve å leve med, selv om det ikke er det jeg helst ønsker. Men jeg trøster meg med at jeg stadig får nye impulser fra mine mot-debattanter. Og siden ingen innlegg i debatten her så langt har svekket min tro på at Cantor tok feil, så hvorfor i all verden skal jeg slutte å forsvare denne troen, slik V ber meg om.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s