En paradoksfri mengdelære – del 21  

Til Debattant P

Ja, nå begynner diskusjonen å bli interessant. I dag skal vi se på to nye problematiske sider Cantors mengdelære, som hittil ikke har vært berørt. P er forundret over at jeg ikke kan innse at det største heltallet ikke kan finnes. Og da tenker han selvfølgelig på det beviset som går ut på at uansett hvilket uendelig tall, N, man velger i samlingen av alle heltall, så kan ikke dette tallet være det største, fordi N + 1 vil være et større tall. Og dette er en del av barnelærdommen til alle matematikere.

Men la oss nå først se på hvilke regneregler som gjelder for uendelige tall. Og la oss bli mer konkret. La oss i stedet for å operere med symbolet, N, for et uendelig tall, ta for oss siffer-representasjonen for dette tallet. La oss si at P påtar seg den oppgaven å uttrykke dette tallet med siffer. Og etter noen uker kommer han tilbake med et tall på noen millioner siffer og lar dette tallet representere det tilfeldig valgte uendelige tallet, N. Men når jeg sjekker ser jeg at sifferrekken har et siste siffer. Men dermed var det et endelig tall han la frem og ikke et uendelig tall slik som forutsatt. Til det vil han svare at det er ikke mulig å uttrykke et uendelig tall helt eksakt. Og der har vi problemet. Han mener at ved å plusse på et ett-tall til et uendelig tall som han ikke kan uttrykke, så får han et tall som er større enn det tallet han ikke kunne uttrykke. Dette er neppe særlig overbevisende. Jeg vet i alle fall ikke hvilke regneregler som gjelder for tall som ikke kan uttrykkes.

Nå vil han kanskje triumferende si at jeg her har bevist at det største uendelige heltallet ikke finnes. Det største heltallet har jo ingen tallrepresentasjon og derfor eksisterer det ikke. Vel, det jeg har bevist er i så fall at det ikke finnes noen uendelige heltall i det hele tatt, og det går neppe hovedstrømmen av matematikere med på. Et tallsystem uten et eneste uendelig tall vil nok ikke slå an. Så dilemmaet er da: enten finnes ikke et eneste uendelig tall fordi slike tall ikke kan uttrykkes med siffer, eller så må vi akseptere at tall som ikke kan uttrykkes med siffer finnes. Det er det siste alternativet vi må velge. Men siden vi ikke har regneregler for slike tall, så vil beviset, nevnt i første avsnitt, for at det største heltallet ikke finnes, ikke nødvendigvis gjelde. Så det største uendelige tallet kan finnes. Men man kan ikke inkludere dette tallet i en mengde siden det er utilgjengelig og kan derfor ikke nåes.

I den neste setningen innrømmer P at enhver samling av endelige heltall, vil ha et største heltall. Og dette vil gjelde uansett hvor stor samlingen er.  Nå er han sikkert fortrolig med en anerkjent bevisteknikk i matematikken som sier at hvis et matematisk system har en bestemt egenskap for alle endelige verdier av en parameter, n, også når n går mot uendelig, så vil systemet også ha denne egenskapet når n er uendelig. Det synes nå som om vi har funnet et system hvor denne bevisteknikken ikke gjelder, nemlig i systemet av samlinger av heltall.  I dette systemet vil det være slik etter P’s mening at «enhver endelig samling heltall må inneholde et største tall», men at dette plutselig ikke gjelder når man har med uendelige samlinger å gjøre.  Hvis han har rett her, så bør jo en rekke eksisterende bevis i matematikken granskes på nytt for å se om vi har med flere moteksempler å gjøre. Jeg tror ikke noen vil gi seg i kast med det, men heller trekke den slutning at P tar feil.

Vi har nå tatt for oss to nye problematiske sider ved mengdelæren, med utgangspunkt i P’s innlegg. Og føyer vi disse to problemene til alle de åpenbare defekter som vi allerede har påvist, så vil jeg våge den påstand at Cantors mengdelære fremstår som en mer og mer ufullkommen matematisk teori.

Som kjent har jeg forsøkt å tenke ut en alternativ mengdelære hvor jeg styrer unna alle disse problematiske sidene ved Cantors mengdelære. Nå vil P kunne si at noe slikt vil jeg trolig ikke klare, siden ingen har klart dette på over 100 år. Til det kan jeg si at den alternative mengdelære som jeg foreslår vil kreve en så stor omstilling i ens måte å tenke på om tallsystemet, at veldig få vil være innstilt på det. Det viktigste nye man må akseptere er at det er et skille mellom eksistens og representasjon. I den foreslåtte mengdelære vil det største heltallet kunne eksistere, men man vil ikke kunne gi dette tallet en tallrepresentasjon. Man vil altså ikke kunne skrive det ned eller uttrykke dette tallet eksakt på noen slags måte. Jeg sier også at dette tallet ikke kan nås ved telling. Man kan derfor ikke danne mengden av alle heltall, fordi man aldri vil kunne føye til det siste og altså største heltallet. Dette tallet kan man aldri nå.

Men dette gjelder ikke bare uendelige tall. P nevner det åpne intervallet (a,b), som etter hans mening ikke har et største tall. Det er riktig at det største tallet ikke kan skrives ned eller uttrykkes på noen måte, men det samme vil jo gjelde for et uendelig antall desimaltall i dette intervallet. Velger vi et tilfeldig tall c slik at a < c < b, så vil jo det første tallet < c og det første tallet > c heller ikke finnes etter P’s måte å tenke på. Så prøver man å danne en mengde av alle desimaltallene i det gitte intervallet, så vil alle slike tall ikke komme med. Det må da bli feil å anta at det er mulig å danne mengden av alle desimaltallene i intervallet (a,b).  I den alternative mengdelære vil disse tallene eksistere, noe som det ikke synes helt ulogisk å tenke seg. Men de kan likevel ikke inkluderes i en mengde fordi de ikke kan nåes.

Trolig vil de fleste av leserne av dette innlegget fremdeles avvise den nye mengdelæren. Spranget fra dagens mengdelære til den nye vil være for stort for disse. Og de vil kunne holde fast ved det gamle paradigmet, selv om et flertall etter hvert holder seg til det nye. Vi vil kunne få den situasjonen som Thomas Kuhn beskriver i sin bok «The Structure of Scientific Revolutions», hvor tilhengere av et foreldet paradigme aldri gir opp sin tro på det, men at det nye paradigmet vinner frem til slutt fordi tilhengerne dør ut.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s