En paradoksfri mengdelære – del 22 

Til debattant K-E

Som svar på ditt innlegg skal jeg komme med en tilføyelse til mitt siste innlegg. Og jeg vil starte med beviset for at det største heltallet ikke finnes. I dette beviset starter man med et uendelig tall og man spør om det er mulig at dette tallet er det største heltallet. Men Cantor og hans tilhengere mener at dette tallet ikke kan være det største fordi hvis man plusser på et ett-tall til dette tallet så blir dette nye tallet større. Og dette vil gjelde et hvilket som helst uendelige tall man velger. Men om dette er riktig avhenger vel litt av hva man kaller det valgte tallet. Kaller man det N for eksempel, så vil dette virke plausibelt. Men i andre grener av matematikken enn mengdelæren bruker man gjerne et annet symbol for å representere et uendelig tall, og det er ∞. Og bruker vi dette symbolet i Cantors bevis, så er det ikke så sikkert at vi kan klare å finne et all som er større enn det tallet som ∞ representerer, for regneregelen for ∞ sier at ∞ + 1 = ∞. Så vi har ikke funnet et tall som er større enn det som vi forsøksvis stilte spørsmål om.Så hva skal vi si om dette? Har de uendelige tallene forskjellige egenskaper i de forskjellige grener av matematikken? Da kan vi ikke snakke om en konsistent matematikk lenger. Og vi matematikere kan ikke slå oss på brystet og proklamere at vi representerer den eneste vitenskapsgren som er uten noen uregelmessigheter eller avvikende oppfatninger. Med andre ord, vi kan ikke hevde at matematikken på alle måter er et perfekt tankesystem.

Men i det store og hele er matematikken selvfølgelig et enestående, uunnværlig verktøy for beregning og analyse innen teknologi og vitenskap til alle tider. Men på ett punkt er den kommet til kort. Den har ikke gitt noen god og overbevisende forklaring på hva uendelig er. Her har matematikerne sviktet. Men heldigvis finnes det ingen anvendelser i teknologi og vitenskap hvor man trenger å forstå hva uendelig er. Ikke engang kosmologien trenger å forstå det. Men hvis de uendelige tallene har forskjellige egenskaper avhengig av hvilken gren av matematikken man befinner seg i, da er matematikken moden for en revisjon.

K-E mener altså at hvis man plusser på et ett-tall til et uendelig tall, så har man ikke noen annet valg enn å akseptere at det påplussede tallet blir større enn det opprinnelige. Og han skjønner ikke hvorfor jeg ikke kan akseptere det. Men som jeg sa i mitt forrige innlegg, så er et uendelig tall et tall som ikke har en avsluttet sifferrepresentasjon. Hvis man prøver å uttrykke et slik tall kommer man aldri til det siste sifferet. Og så lenge K-E ikke forteller meg hvordan man kan plusse et ett-tall til et slikt uendelig tall, så aksepterer jeg ikke hans konklusjon. Men la meg likevel tentativt anta at K-E har rett og at man kan plusse på et ett-tall til et uendelig tall. Følger det da av dette at det største tallet ikke finnes. Nei, det følger bare at det største tallet aldri kan nås. Man kan fortsette å plusse på tall i det uendelig og man blir aldri ferdig med det. Så det største tallet kan finnes, men man får aldri adgang til det. Man kan derfor ikke operere på dette tallet, blant annet kan det ikke inkluderes i en mengde. Og det er nettopp det den nye mengdelæren som jeg foreslår fastholder.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s