En paradoksfri mengdelære – del 23 

Til K-E

Jeg skal nå kommentere ditt innlegg av 3, mars, hvor du tar for deg den metode som Cantor fant opp for å bestemme om to mengder har like mange elementer. Det sies at før Cantors tid kjente man til bare en måte å finne ut om to mengder hadde like mange elementer, nemlig ved telling. Er U mengden av alle uliketall mellom 0 og 101, og L mengden av alle liketall i det samme intervallet, så kan man ved telling finne ut at det er 50 tall i hver mengde, derfor har de to mengdene like mange tall. Men Cantor fant altså en annen metode for å oppnå det samme på, nemlig at hvis alle tallene i U kan danne par med alle tallene i L på en en-entydig måte, så må det være like mange tall i de to mengdene. Det geniale ved denne metoden, vil Cantors tilhengere si, er at metoden også kan benyttes for uendelige mengder (hvor tellemetoden kommer til kort). Derfor vil man for eksempel kunne bevise at det er like mange primtall som heltall (eller naturlige tall). Nå skal vi se hvor genialt dette egentlig er.

En annen egenskap ved Cantors metode er at den kan generaliseres. Hvis H er mengden av alle heltall mellom 0 og 101, så kan man danne par av tallet 1 i U og de to tallene 1 og 2 i H, og likeså danne et nytt par av tallet 3 i U og tallene 3 og 4 i H. Og slik kan man fortsette, og vil ende opp med at alle tallene i U kan pares med to tall i H. Men dermed kan man slutte at det er dobbelt så mange tall i H som i U. Denne metode er like pålitelig for å bestemme at det to ganger så mange tall i H som i U, som Cantors metode er til å bestemme at det er like mange tall i U som i L. Og den generaliserte metode vil også kunne gjelde for uendelige mengder. Men hva får vi da? Ja, da kan vi bevise hva som helst. I første omgang ser vi lett at det kan bevises at det er dobbelt så mange heltall som det er uliketall. Noe som virker svært logisk, men som likevel ikke stemmer med hva Cantor påstår, nemlig at det er like mange uliketall som heltall. Men vi kan påvise mye mer enn det. Hvis for eksempel A er en mengde av alle heltall og B er en annen mengde også av alle heltall, så kan vi danne par av ett og ett tall i A, fra 1 av og oppover, med fem og fem nye tall i B og dermed bevise at det er fem ganger så mange tall i B som i A. Noe som jeg vil tro alle vi innse er en selvmotsigelse. Og generelt, har man to vilkårlige uendelige mengder av heltall, så kan man bevise at det er n ganger så mange tall i den ene mengden som det er i den andre mengden for et hvilket som helst naturlig tall n.

Noen vrir seg unna her ved å si at Cantor egentlig ikke beviste at to uendelige tallmengder har like mange tall, bare at de har samme kardinalitet. Så at to mengder har samme kardinalitet betyr bare at begge mengdene har uendelige mange tall. Men hva er da vitsen med denne pardannelsen hvis det eneste man beviser er at uendelige menger har uendelige mange elementer. Hvis det eneste Cantor har bevist er at det er uendelige mange primtall og uendelige mange heltall (men ikke nødvendigvis like mange av hver), så har ikke Cantor oppdaget noe nytt ved uendelige mengder.

Etter min mening føyer Cantors paringsmetode seg fint inn i rekken av tabber som Cantor gjorde. Jeg vet ikke hvor mange slike tabber vi nå har avslørt i denne debatten, men det er blitt ganske mange.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s