Et farvel til dagens mengdelære – del 1

Jeg har tidligere skrevet to serier med innlegg om mengdelæren på denne bloggen. Jeg har påvist en rekke tvilsomme sider ved Cantors mengdelære, og jeg har skissert en ny mengdelære uten paradokser og med et mer troverdig tallsystem. I mellomtiden har jeg gjort nye oppdagelser om mengdelæren og jeg starter nå en ny serie med innlegg, som vil ende opp med den slutning at tiden nå er inne til å forkaste dagens mengdelære. Og vi må erstatte dagens tallsystem med noe nytt og enklere og uten de særegenheter dagens system har. Og jeg gir et løfte til lesere som vil følge denne serien: når de kommer til det siste innlegget vil de være overbevist om at dagens mengdelære ikke har livets rett og må erstattes. Og de vil også spørre: hvordan er det mulig at Cantor kunne ta så feil?

Jeg starter forsiktig med

Litt historie

Mange regner matematikken som uangripelig fordi dens resultater ikke trenger å verifiseres ved observasjoner, men vil være sanne i kraft av logiske bevis. Men en gren av matematikken har til alle tider vært kontroversiell. Det er mengdelæren. Den ble grunnlagt av George Cantor for over 100 år siden og møtte kritikk fra første stund. Den norske matematikeren Thoralf Skolem var blant de som ga sin mistro tilkjenne. Et par selvmotsigelser ble oppdaget tidlig og svekket troen på læren ytterligere. Den ene var det Cantor selv som oppdaget. Men ved å føye til et ad hoc-aksiom klarte man å fjerne den andre selvmotsigelsen, den som ble påvist av Bertrand Russel. Og vi fikk en variant av mengdelæren som fikk betegnelsen ZFC.  Men ikke alle var fornøyd med det. Etter hvert har kritikken likevel stilnet, delvis fordi mengdelæren har perifer interesse blant mange matematikere (i min tid på Universitetet i Oslo, ble det ikke holdt kurs i denne læren i det hele tatt), men også fordi ingen av de alternative mengdelærene som sporadisk ble foreslått, synes å være mere tillitvekkende. Man hadde altså ikke noe bedre valg. Mengdelæren benyttes også liten grad i praktiske beregninger, så man kan ikke ved anvendelser få avgjort om den er sann eller ikke.

En matematikk om tall

Ikke all matematikk handler om tall, men tall spiller en stor rolle i matematikken. Georg Cantor gjorde tallsystemet til et forskningsobjekt. Og som analyseverktøy i dette arbeidet valgte han mengdelæren, hvor han samlet tall av forskjellige kategorier innenfor enkle, lukkete områder som han kalte mengder, og gjorde forskjellige analyser av disse. Blant annet var han opptatt av hvor mange det var av de forskjellige tall-kategoriene. (Mengdelæren kan selvfølgelig også ta for seg mengder av andre elementer enn tall, men det er tall som er viktigst, og det er hovedsakelig tall vi skal snakke om i dette essayet.) Dessuten skilte Cantor mellom kardinaltall og ordinaltall. I dette essayet skal vi kun holde oss til kardinaltall.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s