Et farvel til dagens mengdelære – del 2

Kan uendelige mengder dannes?

Så lenge Cantor holder seg til endelige mengder så er det enkelt å følge og å akseptere hans resonnementer. Det er lett å forestille seg mengder med et endelig antall elementer, og at man kan gjøre operasjoner på slike mengder. Men helt ukritisk antok Cantor at siden man fritt kan danne alle slags endelige mengder, så må det også være mulig å samle alle elementer det er uendelig mange av i en mengde.  Og at denne mengden kan opereres på. Jeg har lest mange lærebøker om mengdelære, men jeg har ikke påtruffet en eneste av disse som forklarer hvorfor man uten videre kan slutte at uendelige mengder må finnes eller kan dannes. Og spesielt mengder som er komplette og altså inneholder alle elementer det er uendelig mange av. Man mener øyensynlig at siden det er lett for alle å se hvordan endelige mengder kan dannes – det er bare å føye ett og ett element til mengden til man kommer til det siste elementet og dermed har man den mengden man ønsket –  så må det være like lett å danne uendelige mengder. Det man da tilsynelatende ikke tenker på er at et forsøk på å danne en uendelig mengde på denne måte aldri vil kunne avsluttes. Så uendelig mengder kan altså ikke dannes på samme måten som endelige mengder.

Så kan man spørre om man egentlig trenger å vite hvordan en matematisk konstruksjon dannes for å kunne operere på den. Ja, jeg mener faktisk det. Hvis man ikke kan forklare hvordan en matematisk konstruksjon er dannet, så er det høyst usikkert om man kan trekke noen pålitelige slutninger om konstruksjonen. Det er da ikke sikkert at konstruksjonen finnes. Men, vil kanskje enkelte svare, Cantor gjorde jo nettopp det, han opererte på uendelige mengder uten å beskrive hvordan disse ble dannet eller kan dannes. Men, som vi skal se etter hvert, så tok Cantor feil på så mye annet, så kanskje han også tok feil her. Hvis det viser seg at komplette, uendelige mengder ikke kan dannes på noen slags måte, så er det spørsmål om ikke Cantor brøt en matematisk lov når han utleder alle sine egenskaper om uendelige mengder.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s