Et farvel ved dagens mengdelære – del 4

Konkrete og abstrakte tall

Nå er det klart at hverken Cantor eller noen matematikere i dag forestilte eller forestiller seg mengden av heltall slik som beskrevet i forrige innlegg. For en ert er jo et tredimensjonalt, konkret objekt, mens et tall oppfattes som noe mer abstrakt. Jeg tror isteden at når de fleste matematikere danner seg et bilde av mengden av alle heltall, så tenker de seg en lukket, synlig kurve som begrenser mengden, mens det som er inni denne kurven er usynlig. Tallene er altså usynlige. Men er dette betryggende? Kan man stole på de slutninger man trekker av operasjoner på usynlig objekter? Kan det ikke tenkes at matematikerne her gjør det litt lett for seg selv, og at de risikerer å overse ett eller flere problemer, ved å la heltallene bare være noe som forekommer i ens egen fantasiverden, men ikke i den konkrete verden? For når man operere på disse tallene, så blir de jo plutselig konkrete. De er usynlige når de ligger inne i mengden i en latent tilstand, men skal man gjøre noe med dem så må de gjøres synlige.  Man opererer altså med usynlige tall når det passer seg og synlige tall når det passer seg. Dette er ikke helt betryggende etter min mening.

Skal man finne ut noe mer om hvordan mengden av alle heltall kan dannes eller hvorfor denne mengde ikke kan dannes, så må vi trolig holde oss til noe mer håndgripelig.  La oss for eksempel betrakte heltallene som todimensjonale objekter. La oss se på tallet 12345 og la oss tenke oss dette tallet plassert på en film uten tykkelse. Det er da et todimensjonalt objekt, det har høyde og bredde men ikke tykkelse. Og la oss tenke oss alle heltallene plassert på hver sin filmstrimmel og vi plasseres disse strimlene bak hverandre, slik at strimmelen til ett-tallet kommer først, så strimmelen til to-tallet og etter hvert kommer alle tallene med to, tre og n siffer. Og vi lar n bli uendelig. Da ligger disse tallene samlet bak hverandre uten tykkelse. Men da kan det se ut som om vi kan holde tommelfingeren foran ett-tallet og pekefingeren bak det siste tallet og deretter løfte opp alle disse tallene og strø de utover den lukkede kurven som vi har gjort klar, og vi har fått alle heltallene inn i en mengde. Vi har altså klart å danne mengden av alle tall i en operasjon. Tilsynelatende. Men det er første ett problem. I og med at antall sifrer ikke bare går mot uendelig, men til slutt blir uendelig, så vil strimlene med film bli lenger og lenger og til slutt blir de uendelig lange. Og da er jo spørsmålet om vi kan få disse uendelige lange strimlene inn i den lukkede kurver vi har reservert. Jeg ser ikke hvordan vi skal klare det.

Men det er et problem til, og det er det verre å hanskes med. La oss tenke oss at vi har gjort klar denne samlingen av strimler med alle heltallene på. Så gjør vi pekefingeren litt fuktig, og så trekker vi opp den første strimmelen. Og strimmelen med ett-tallet følger med. Så gjør vi det samme med den siste strimmelen og det siste tallet følger med. Men stopp nå litt – det siste tallet? Hvis det finnes et siste eller største tall i denne samlingen, så har vi jo et endelig antall strimler i samlingen og ikke et uendelig antall som forutsatt (og Cantor mente jo at det største heltallet ikke finnes). Så dermed kan vi ikke danne mengden av alle heltall på denne måten. Jeg slutter av dette at det hverken finnes en sekvensiell eller simultan måte å danne den uendelige mengden av alle heltall. Og dermed finnes ikke denne mengden. Cantor jukser altså når han påstår at denne mengden finnes.

Her ser vi at når vi holder oss til konkrete tall, så får vi straks problemer. Hadde vi kun holdt oss til tenkte, usynlige tall, så hadde vi ikke oppdaget problemet. Men problemet ville ha vært der like fullt.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s