Et farvel med dagens mengdelære – del 5

En teori med selvmotsigelser

Cantor oppdaget selv en mengde som var slik at uansett hvor mange kvalifiserte elementer som man klarte å tilføre en mengde, så var det alltid mulig å finne et kvalifisert element som ikke fantes i mengden. Man skulle kanskje tro at denne oppdagelsen ga Cantor visse betenkeligheter, men det er ingen ting som tyder på at han gjorde noen undersøkelser om at dette også kunne gjelde andre uendelige mengder. Ikke en gang da Bertrand Russel i 1902 oppdaget en mengde som aldri vil kunne inneholde alle elementer av en bestemt kategori, ble det gjort noen forsøk på en revisjon av mengdelæren. Og istedenfor å innrømme at man her stod overfor selvmotsigelser, så valgte man å bruke den mer tildekkende betegnelsen paradokser om disse litt pinlige oppdagelsene.

Det er merkelig etter disse funnene, at Cantor ikke spurte seg selv om det også fantes heltall som man ikke ville finne i en mengde H som man antar skal inneholde absolutt alle heltall.  Faktisk kunne han tatt et tilfeldig, konkret uendelig tall og sjekket om dette tallet virkelig fantes i den nevnte mengde. Han ville da straks støte på et problem: han vil ikke klare å finne en sifferrepresentasjon av dette tilfeldige uendelig heltall. Han vil kunne prøve et tall med noen millioner siffer, men dette vil være et endelig tall og vil ikke kunne brukes. Han vil da måtte slutte at det faktiske ikke vil finnes et eneste uendelig tall i denne mengden hvis man krever at alle tallene skal ha en sifferrepresentasjon. Cantor måtte da ty til disse usynlige tallene igjen, tall som han riktignok kunne tenke seg i sin fantasi, men som ikke kan eksistere konkret. Her vil mengdeteoretikerne stå på gyngende grunn med sine usynlige fantasitall. Jeg for min del er veldig skeptisk til slike tall. De eksisterer ikke på samme måte som et tall som kan uttrykkes med siffer. Derfor tror jeg at man kan danne mengder av heltall med så store endelige tall man ønsker (men ikke nødvendigvis det største endelige heltallet), men når man kommer til de uendelige tallene så får man straks problemer. Disse tallene kan bare forekomme i en fantasiverden ikke i den virkelige verden. Og matematikken tilhører den virkelige verden. Det er ikke noe metafysisk ved tall. Og slutninger man trekke ved operasjoner på fantasitall, kan man i alle fall ikke ha full tillit til.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s