Et farvel til dagens mengdelære – del 7

Et alternativ til uendelighetsaksiomet

Uendelighetsaksiomet er veldig hendig å ty til når man skal forsvare hvorfor man tror at mengden av alle heltall eksisterer. Aksiomet sier jo nettopp at alle heltall kan samles i en mengde. Det var ikke Cantor som lanserte dette aksiomet, det var Bertrand Russel. Og man kan jo spørre hva Russel ønsket å oppnå eller trodde han hadde oppnådd ved å innføre dette aksiomet. Etter ordboken er et aksiom en selvinnlysende premiss. Men som vi har sett, så er ikke uendelighetsaksiomet selvinnlysende. Aksiomet impliserer at det finnes en metode for å danne mengden av alle heltall. Så man kunne like gjerne latt aksiomet uttrykke akkurat dette. Men kan en påstand om at det finnes en metode for å oppnå ett eller annet, kalles en premiss. Jeg tror ikke det.  Og i alle fall ikke så lenge metoden er ukjent. Mengden av alle heltall er bare noe man forestiller seg kan dannes. Man starter med definisjonen av heltall og man håper på at det er mulig på en eller annen måte å samle alle disse tallene i en mengde. Det hadde vært riktigere å kalle aksiomet for en gjetning (conjecture) eller en hypotese. Men Russel reddet vel mengdelæren fra undergangen ved å introdusere dette aksiomet. Med dette aksiomet er det vanskeligere å kritisere eller stille spørsmål ved mengdelæren. Men etter min mening er dette aksiomet den største villfarelsen, ikke bare i mengdelæren, men i hele matematikken.

Men tenk om Russel hadde valgt et annet aksiom, et aksiom som sier at alle mengder av heltall har et største heltall. Da hadde mengdelæren fått et selvinnlysende aksiom, ingen ville ha noen grunn til å tvile på at dette aksiomet var sant. For intuitivt virker dette riktig. Men dette aksiomet ville ha som konsekvens at mengden av alle heltall ikke kan dannes. For hvis vi mener å ha dannet en slik mengde, så vil mengden i kraft av det nevnte aksiomet også ha et største heltall. La N være dette største heltallet. Da vil det finnes et tall N + 1 som er større enn N men som ikke finnes i mengden. Altså vil ikke mengden av alle heltall kunne dannes. Dette ville imidlertid ha ført til en helt annen mengdelære, og vi ville ha fått en mengdelære uten paradokser.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s