Et farvel til dagens mengdelære – del 8

Tallsystemet i et nytt perspektiv

La oss nå gjøre oss noen refleksjoner over de observasjonene vi hittil har gjort. Vi har sett at vi ikke kan behandle de uendelige heltallene på samme måte som de endelige. Vi må faktisk gjøre et klart skille mellom de endelige og de uendelige heltallene. Og det kan ikke være en glidende overgang fra det endelige doméne til det uendelige doméne. Det kan ikke være slik at det finnes ett eller annet kritisk tall K som har den egenskapen at K er et endelig tall mens K + 1 er et uendelig tall. Det ville ha betydd at K ville ha vært et tall med et endelig antall siffer, mens K + 1 vill være et tall med uendelig mange siffer, og det sier seg selv er umulig. Men denne observasjon får konsekvenser for matematikken generelt. Man ser ofte i matematiske tekster formuleringer som «… og så lar vi n går mot uendelige». Og så trekker man en slutning om hva som skjer med en prosess når en parameter n går fra å være et endelig tall til å bli et uendelig tall. Men som vi nå ser kan man ikke få n til å bli uendelig ved å gradvis øke verdien av n. Man kan legge til ett og ett tall til n så lenge man ønsker, men man vil aldri oppleve at n plutselig blir et uendelig tall. Så her er det mye matematikk som må revideres.

I det endelige doméne har vi full kontroll, vi kan forestille oss en representasjon av hver av disse tallene selv om noen av dem kan bestå av flere millioner siffer. Og vi kan gjøre alle mulige slags operasjoner på disse tallene. For de uendelige tallene er situasjonen en helt annen.  Vi kan ikke på samme måte som for endelige tall forestille oss en representasjon av disse tallene. Skal vi tenke oss disse plassert innenfor en lukket kurve (en mengde), så må de gjøres usynlige får å få plass. Vi vil ikke kunne avgjøre hvilket av to tilfeldige, uendelige tall som er størst ved å observere de fordi de kan ikke observeres. Man kan derfor ikke ordne disse tallene. Man kan ikke plusse på et ett tall (eller et hvilket som helst annet heltall) til et uendelig tall, fordi det uendelige tallet ikke har et siste siffer som man kan legge dette valgte tallet til. Man har altså ikke regneregler for disse tallene. Og hva er det minste og det høyeste uendelige tallet? Ingen vet det. Og vi kan ikke finne ut om et tilfeldig uendelig tall er liketall eller uliketall. Vi kan derfor ikke danne par mellom liketall og uliketall i det uendelige doméne for å bevise at der like mange av disse to talltypene i dette doméne. Og vi kjenner ingen metode for å kunne bestemme om et uendelig heltall er primtall eller ikke. Det uendelige doménet er et eneste stort tåkehav som det ikke er så lett å forholde seg til.

Det ser ut til at Cantor hadde et litt for enkelt syn på tallsystemet og var ikke oppmerksom på noen av disse problemene. Det synes som om han mente at alle operasjoner som kunne utføres i det det endelige doméne også kunne utføres i det uendelige doméne. Dette viser han nettopp ved beviset for at det største heltallet ikke finnes. For å lykkes med dette beviset må han anta at man kan plusse på et ett-tall til et hvilket som helst uendelig tall, noe som vi har vist ikke er så enkelt. Så i en fremtidig mengdelære kan det ikke være slik. Da må de endelige tallene behandles for seg og de uendelige for seg. Det vil da være lett å se at de endelige tallene ikke alle kan samles i en mengde. Uansett hvor stor en slik mengde er, så vil den ha et tall som er større enn alle de andre, og ved å plusse på et ett-tall til dette tallet, så vil man ha påvist et tall som ikke finnes i denne mengden. Om alle de uendelige tallene kan samles i en mengde blir da nokså håpløst å finne ut av, og vil også avhenge av om man tror på usynlige tall eller ikke.

Det er merkelig at Cantor, som var helt sikker i sin sak om at mengden av alle heltall, endelige som uendelige, kan dannes, kunne overse at det ikke er mulig å danne mengden av alle endelige heltall. Det vil alltid være mulig å finne et heltall som ikke kommer med, ved et forsøk på en slik dannelse.  Men dermed kan heller ikke den samlede mengden av alle endelige og uendelige heltall kunne dannes.

Dette regner jeg som det endelige beviset for at det ikke er mulig å danne en mengde av alle heltall. Med andre ord: uendelighetsaksiomet kan ikke være riktig. Min erfaring forteller meg imidlertid at dette ikke blir godtatt av et flertall av matematikere. Og altså av de fleste som leser dette essayet. De vil fortrenge eller se bort fra dette beviset og fortsette å undervise i dagens mengdelære uten forbehold. Og blir de spurt om hvorfor, vil de trolig si at dette beviset ikke kan være riktig – de vil ikke selv kunne påpeke feilen i beviset – men før eller senere vil noen andre helt sikkert påvise feilen. Cantor eller Russel kan umulig ha tatt feil.

Mengdelæren har i sannhet et utrolig sterkt immunforsvar. Den har overlevd en rekke selvmotsigelser (kalt paradokser), den har overlevd Zermelo og Frankl’s ad hoc aksiom som forbyr spesielt store mengder (et aksiom som slettes ikke er selvinnlysende), den har overlevd fiaskoen med kontinuumshypotesen (nevnt i et senere innlegg) og den overlever trolig også det overforstående beviset for at uendelighetsaksiomet er feil.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s