Et farvel til dagens mengdelære – del 9

Var Cantor ufeilbarlig?

Nå var Cantor et menneske og det er menneskelig å feile. Så jeg klandrer ikke Cantor for at han overså de problemene nevnt i tidligere innlegg. Men det som er i høyeste grad forunderlig er jo at så mange generasjoner matematikere etter Cantor har latt seg besnære og Cantors teori og helt kritikkløst har akseptert alle hans resultater. Et eksempel på hva Cantor tror han kan bevise kommer nå i et nytt og avslørende lys. Jeg tenker da på beviset for at det er like mange primtall som heltall. Det er utrolig at et flertall av matematikere fremdeles tror at det er like mange primtall som heltall. De innrømmer riktignok at dette intuitivt ikke virker særlig sannsynlig, men beviset for dette (nemlig at alle primtall kan danne enentydige par med alle heltallene) er så overbevisende at de er nødt til å akseptere det. Ja, en matematiker jeg en gang diskuterte med, mente at det å stole mer på et bevis enn på sin intuisjon krevde et spesielt talent og han var stolt over å være i besittelse av dette spesielle talentet.

Men hvordan kunne denne matematikeren være så sikker på at beviset var 100 % pålitelig? For det første ville beviset være gyldig bare hvis alle primtall kunne samles i en mengde og hvis alle heltall kunne samles i en mengde. Og det kan man ikke bevise, det er bare noe man antar. Eller man kan si at det er noe man gjerne vil skal gjelde. Man føler at matematikken blir mer perfekt om komplette uendelig mengder finnes. Men å bygge en matematikk på ønsketenkning er ikke særlig tillitvekkende. Så her hadde det gjort seg med en litt skeptisk holdning. For det andre, en slik pardannelse som beviset forutsetter, hvordan avsluttes den? Det er det ingen som har sagt noe om. Så her burde denne matematikeren med sitt store selvbilde ha stolt mer på sin intuisjon en på Cantors bevis.

I en fremtidig mengdelære vil det være lett å se at det kan ikke være like mange primtall som heltall. Tar vi først for oss det endelige doméne, så ser vi uten noen bevisførsel at i en mengde med alle heltall opp til N må det være langt flere tall enn i en mengde med alle primtall opp til N. Så lenge vil holder oss til det endelige doméne vil det altså være langt færre primtall enn heltall. Hvis da Cantor har rett i at alt som skjer i det uendelige doméne er helt analogt med det som skjer i det endelige doméne, ja, da må det også være flere heltall i det uendelige doméne enn det er primtall i det samme doméne. Men som vi påpekte i forrige innlegg, så er det umulig å påvise hvilke uendelige tall som er primtall, så det vil være umulig å danne par mellom uendelige primtall og uendelige heltall. Og dette alene gjør jo at paringen av heltall og primtall aldri kan gjennomføres.

Mye av det jeg har skrevet i innlegg frem til nå er nye tanker om gjeldende mengdelære og vil ikke finnes i de to bøkene jeg tidligere har skrevet om dette emne, nemlig «Det ufullkomne i matematikken» (1998) og «Finnes det en sann matematikk?» (2003). I noen kommende innlegg skal jeg oppsummere noen av de innvendinger mot gjeldende mengdelære som vil være kjent fra før.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s