Et farvel til dagens mengdelære – del 10

Cantors paringsmetode

La oss gå tilbake til beviset for at det er like mange primtall som heltall, og se på den metode som Cantor fant opp for å bestemme om to mengder har like mange elementer. Det sies at før Cantors tid kjente man til bare en måte å finne ut om to mengder hadde like mange elementer, nemlig ved telling. Er U mengden av alle uliketall mellom 0 og 101, og L mengden av alle liketall i det samme intervallet, så kan man ved telling finne ut at det er 50 tall i hver mengde, derfor har de to mengdene like mange tall. Men Cantor fant altså en annen metode for å oppnå det samme på, nemlig at hvis alle tallene i U kan danne par med alle tallene i L på en en-entydig måte, så må det være like mange tall i de to mengdene. Det geniale ved denne metoden, vil Cantors tilhengere si, er at metoden også kan benyttes for uendelige mengder (hvor tellemetoden kommer til kort). Derfor vil man for eksempel kunne bevise at det er like mange primtall som heltall. Vi skal nå se hvor genialt dette egentlig er.

En annen egenskap ved Cantors metode er at den kan generaliseres. Hvis H er mengden av alle heltall mellom 0 og 101, så kan man danne par av tallet 1 i U og de to tallene 1 og 2 i H, og likeså danne et nytt par av tallet 3 i U og tallene 3 og 4 i H. Og slik kan man fortsette, og vil ende opp med at alle tallene i U kan pares med to tall i H. Men dermed kan man slutte at det er dobbelt så mange tall i H som i U. Denne generaliserte metode er like pålitelig for å bestemme at det to ganger så mange tall i H som i U, som Cantors metode er til å bestemme at det er like mange tall i U som i L. Og den generaliserte metode vil også kunne gjelde for uendelige mengder. Men hva får vi da? Ja, da kan vi bevise hva som helst. I første omgang ser vi lett at det kan bevises at det er dobbelt så mange heltall som det er uliketall. Noe som virker svært logisk, men som likevel ikke stemmer med hva Cantor påstår, nemlig at det er like mange uliketall som heltall. Men vi kan påvise mye mer enn det. Hvis for eksempel A er en mengde av alle heltall og B er en annen mengde også av alle heltall, så kan vi danne par av ett og ett tall i A, fra 1 av og oppover, med fem og fem nye tall i B og dermed bevise at det er fem ganger så mange tall i B som i A. Noe som jeg vil tro alle vi innse er en selvmotsigelse. Og generelt, har man to vilkårlige uendelige mengder av heltall, så kan man bevise at det er n ganger så mange tall i den ene mengden som det er i den andre mengden for et hvilket som helst naturlig tall n.

Når en tilhenger av gjeldende mengdelære blir konfrontert med disse betraktningene, så slår det aldri feil. Da får vi høre at Cantor egentlig ikke beviste at to uendelige tallmengder har like mange tall, bare at de har samme kardinalitet. Og at to mengder har samme kardinalitet betyr bare at begge mengdene har uendelig mange tall. Men hva er da vitsen med denne pardannelsen hvis det eneste man beviser er at uendelige menger har uendelige mange elementer. Hvis det eneste Cantor har bevist er at det er uendelige mange primtall og uendelige mange heltall (men ikke nødvendigvis like mange av hver), så har ikke Cantor oppdaget noe nytt ved disse to mengdene.

Men, vil tilhengeren av gjeldende mengdelære si, det Cantor påviste var at mengden av alle primtall er av samme størrelsesorden som mengden av alle heltall, men at det også fantes uendelige mengder av høyere størrelsesorden. Det er dette som Cantor er blitt geniforklart for å ha oppdaget. Alle uendelige mengder som kan danne enentydige par med mengden av alle heltall har ifølge Cantor en kardinalitet eller størrelsesorden som han kalte À0 (alef 0). Mens mengden av alle desimaltall mellom 0 og 1 for eksempel mente han var av en høyere størrelsesorden.

Men igjen ser det ut til at Cantor er på villspor. Som vi skal se i det innlegget som kommer om to uker er det mulig å ordne disse desimaltallene slik at alle disse tallene kan tilordnes et heltall på en enentydig måte. Og dermed er det påvist at det er like mange av disse desimaltallene som det er heltall. Og altså er de av samme størrelsesorden. Så antall desimaltall mellom 0 og 1 er altså lik À(alef 0).

I neste uke skal vi imidlertid vi ta et kritisk blikk på Cantors diagonalmetode

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s