Et farvel til dagens mengdelære – del 11

Dette innlegget var planlagt publisert søndag den 18. sept. Ble i stedet publisert tirsdag den 20. sept. 

Søkelys på Cantors diagonalmetode

Men første skal vi ta et kritisk blikk på Cantors diagonalmetode hvor det virker som om Cantor mener at alle uendelige tall er like store. Vi tar for oss en ordning av desimaltallene mellom 0 og 1 hvor antall desimaltall i ordningen går mot uendelig og antall siffer i desimaltallene også går mot uendelig etter hvert som vi går nedover i ordningen. Cantor påstår så at han kan konstruere et desimaltall som ikke finnes i denne ordningen. Men metoden vil bare ha den virkning Cantor påstår, hvis antall siffer går mot det samme uendelige tall som antall tall, og dette er lett å se ikke kan stemme.

Cantor stilte spørsmål ved om de reelle tallene kunne avbildes på heltallene, dvs. om de reelle tallene var tellbare. Han lot desimaltallene mellom 0 og 1 representere de reelle tallene og fant ved hjelp av sin berømte diagonalmetode at uansett hvordan man ordnet disse desimaltallene i en kolonne, så ville det alltid være minst ett tall som ikke fantes i denne kolonnen. Cantor trakk derfor den slutning at de reelle tallene må være av en annen størrelsesorden enn heltallene. Problemet med diagonalmetoden er imidlertid at den inngår i en prosess som beveger seg fra det endelige til det uendelige, dvs. fra et doméne hvor vi har full kontroll og til et litt diffust doméne hvor vi har mangelfull kontroll. Og som vi skal se står vi her overfor to prosesser som begge går mot uendelig, men som ender opp i et uendelig av to forskjellige størrelsesordener. Og det er dette som har ført til Cantors diagonalmetode ikke holder mål.

For å få et klarere bilde av hva diagonalmetoden dreier seg om skal vi først gjøre et par tankeeksperimenter. La oss ta for oss alle desimaltallene mellom 0 og 1 med 100 siffer (avsluttende nuller inkludert). Det er 10100 slike tall; og la oss tenke oss at vi ordner disse tallene på en eller annen måte. Så danner vi et desimaltall, d, etter mønster av diagonalmetoden hvor det k-te siffer i d er forskjellig fra det k-te siffer i tall nr. k i ordningen. Dette tallet vil bestå av 100 siffer etter desimaltegnet, og det vil være forskjellig fra de 100 første tallene i den angitte ordningen. Men vi har ikke dermed bevist at dette tallet, d, også er forskjellig fra de 10100 – 100 resterende tallene i ordningen. Faktisk, siden alle desimaltallene med 100 sifrer er med i ordningen, så må også d være blant de 10100 – 100 resterende tallene. Her har vi full oversikt over hva som skjer, og vi ser da at diagonalmetoden bare klarer å finne et tall som er forskjellig fra de første 100 tallene. Så det kan da falle naturlig å spørre om det også forholder seg på liknende måte når vi har å gjøre med alle desimaltallene i det nevnte intervallet.

La oss i neste omgang tenke oss at vi har valgt ut bare 100 desimaltall mellom 0 og 1, hver med 100 siffer etter desimaltegnet og danner en ordning av disse. Så anvender vi diagonalmetoden på denne ordningen og finner et desimaltall, d, som er forskjellig fra alle disse 100 tallene. Her virker diagonalmetoden. Og hvorfor virker den? Jo, fordi den ordningen vi har dannet har form av et kvadrat. Det er like mange tall i ordningen som det er siffer i hvert tall. Hadde det vært 101 desimaltall i ordningen kunne vi ikke vært sikker på at tall nr. 101 var forskjellig fra d. For å oppnå det måtte vi ha funnet opp en tilleggsregel ved dannelsen av d. Og det ser det ikke ut som om noen har foreslått. Så Cantors diagonalmetode virker bare hvis en ordning av desimaltall fremstår som et «kvadrat» etter definisjonen ovenfor. Når vi imidlertid går over fra et endelig antall desimaltall til alle desimaltallene (i det nevnte intervallet), så vil antall siffer gå mot uendelig sammen med antall desimaltall. Det er da lett å la seg forlede til å tro at i dette tilfelle har diagonalmetoden fått med seg alle desimaltallene. Men det er lett å se at slik er det ikke.  Hvis vi tenker oss en progresjon av ordninger av desimaltall hvor hver ordning har 10N desimaltall, hver med N siffer, og lar N i denne progresjonen gå mot uendelig, så synes ordningene i denne progresjonen å bli mindre og mindre «kvadratiske» etter hvert (forholdet mellom antall siffer og det totale antall desimaltall går raskt mot null), og siden det ikke forekommer mirakler i matematikken, så må dette gjelde også når N når uendelig. Så av dette må man trekke den slutning at Cantors diagonalmetode ikke beviser det Cantor påstår, nemlig at metoden viser at i enhver ordning av desimaltallene mellom 0 og 1, så vil det finnes et tall som ikke er med i ordningen.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s