Et farvel til dagens mengdelære – del 13

Litt mer om Cantors diagonalmetode

Vi har altså satt søkelyset på Cantors diagonalmetode og vist at metoden ikke hadde den effekt som Cantor påstod, nemlig at den kunne brukes til å vise at det ikke er mulig å samle alle desimaltall mellom 0 og 1 i en uendelig lang liste. Cantor påstod at uansett hvor mange av disse desimaltallene vi inkluderer i listen, så vil det alltid være mulig å finne et tall som ikke finnes i listen. Dette manglende tallet genereres ved å bevege seg langs en diagonal i listen og å velge siffer nr. k i tallet slik at det garantert vil bli ulikt siffer nr. k i tall nr. k på listen. Dermed vet vi at det genererte tallet ikke kan være lik tall nr. k på listen. Grunnen til at dette beviset ikke er gyldig er at når man beveger seg på skrå nedover til høyre langs diagonalen, så kommer man til slutten av diagonalen før man kommer til slutten av listen. Det er lett å se at det er langt flere tall i listen enn det er antall siffer i de enkelte tallene. Derfor kan man ikke være sikker på at det tallet man genererer ikke finnes på listen. Det kan finnes nedenfor der hvor diagonalen slutter.

Men hvordan kunne Cantor ta så feil og hvorfor har ingen gjennomskuet ham? Grunnen er at alle som har omtalt denne metoden eller beskrevet den i lærebøker synes uten unntak å ha kopiert Cantors resonnement. I sitt bevis startet Cantor med en tenkt, vagt definert liste, som det ikke er mulig å ha noe konkret forhold til.  Det er da forståelig at leserne tror denne tenkte listen må ha en kvadratisk form siden det er både uendelig mange tall i listen og uendelig mange siffer i disse tallene og dermed blir de overbevist om at diagonalmetoden virker (for den vil jo virke om listen er kvadratisk). Jeg har ikke sett en eneste omtale av diagonalmetoden i lærebøker hvor formen på denne tenkte listen er spesifisert på noe vis. Så alle lærebokforfattere er blitt ført bak lyset av Cantor. Og dette har forplantet seg til de øvrige matematikerne.

Siden diagonalmetoden ikke har den virkning Cantor trodde, så har vi ikke lenger noe bevis for at mengden av desimaltall mellom 0 og 1 er ikke-tellbar. Og denne innsikt åpner faktisk for at den nevnte mengden er tellbar. Og hvilke konsekvenser får i så fall dette for mengdelæren? Cantor kalte kardinaltallet for denne mengden (og for mengden av de reelle tallene generelt) for c. Og dette kardinaltallet er assosiert med et mysterium i historien om mengdelæren, et mysterium som nå kanskje vil få sin forklaring.

Cantor utviklet et system av uendelige kardinaltall, hvor hvert av disse tallene stod for antall elementer i en klasse av uendelig mengder. Alle tellbare uendelige mengder, deriblant mengden av alle naturlige tall, hadde kardinaltallet À0 (alef 0) mens de etterfølgende kardinaltallene fikk betegnelsene À1, À2 (alef 1 og alef 2) osv. Cantor viste hvordan man kunne danne mengder som hadde disse forskjellige kardinaltallene. Men hvor hørte kardinaltallet c hjemme i denne rekken? Siden c var kardinaltallet til en ikke-tellbar mengde, så måtte det være av en høyere størrelsesorden enn À0 (alef 0). Men Cantor klarte ikke å finne ut hvordan størrelsesforholdet var mellom À1 (alef 1) og c. Han selv trodde at À1 (alef 1) ikke kunne være mindre enn c og han formulerte dette som en hypotese, kontinuumshypotesen. Men så viste Gødel (i 1938) og Cohen (i 1963) at det ikke var mulig hverken å bevise eller motbevise denne hypotesen. Dette skapte jo en del forvirring og forlegenhet blant mengdeteoretikerne, og kunne ikke regnes som noe sunnhetstegn for mengdeteorien. Men med den nye innsikt vi nå har om at mengden av reelle tall kan være tellbar, så synes det nokså opplagt at c = À0 (alef 0). Så c skaper da ikke lenger problemer for mengdelæren og Gødels og Cohens innsats i denne sammenhengen kan altså ha vært helt bortkastet.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s