Et farvel til dagens mengdelære – del 14

En punktvis oppsummering

I disse blogginnleggene og i tidligere utgitte skrifter mener jeg å ha påvist at Cantor gjorde en mengde feilaktige antagelser i sin mengdelære noe som resulterte i en rekke feilaktige slutninger om tallsystemet. Det er altså ikke bare en enkel feil jeg har funnet. Jeg mener å ha funnet feil på feil i teorien, og at situasjonen er så ille at det er nødvendig å skifte ut hele teorien. Men dermed har jeg plassert meg selv i en litt delikat situasjon. Jeg finner ingen støtte for mine synspuker blant matematikere flest. Et stort flertall ønsker ikke en gang å diskutere det jeg er uenig med Cantor om, de blir typisk kraftig provosert når de får høre at Cantor kan ha tatt feil. Noen blir forarget over at jeg uttrykker meg i prosa og ikke bruker en formalisme som de er fortrolig med. En mulighet er at vi står overfor en situasjon som den Thomas Kuhn beskriver i sin bok «The Structure of Scientific Revolutions», hvor tilhengere av et foreldet paradigme aldri gir opp sin tro på dette paradigme uansett hvor mange argumenter som taler imot. La oss oppsummere de viktigste innvendingene mot dagens mengdelære, og som jeg altså er nokså alene om å ha.

  1. Uendelighetsaksiomet impliserer at det finnes en metode for danning av enkelte uendelig mengder. Men en metode kan ikke utgjøre en premiss i en teori. At en slik metode finnes er heller ikke selvinnlysende.
  2. Det er mulig å tenke seg at mengden av alle heltall eksisterer uten at man kjenner noen metode for hvordan mengden kan dannes. Men kjenner man ikke til hvordan denne mengden dannes, kan man ikke vite om mengden virkelig eksisterer, så eventuelle resultater av operasjoner på mengden kan man ikke ha full tillit til.
  3. Hvis mengden av alle heltall eksisterer, så må den blant annet inneholde alle de endelige Men siden det ikke er mulig å samle alle de endelige heltallene i en mengde kan ikke mengden av alle heltall eksistere.
  4. Enhver mengde av endelige heltall vil ha et største tall. Men i totalen av endelige heltall vil det ikke være et største tall. Man kan likevel tenke seg at et slikt tall eksisterer på en eller annen måte. Men det kan ikke uttrykkes med en sifferrepresentasjon.
  5. Man har ikke regneregler for uendelige tall. Hvis N er et uendelig tall, så kan man ikke si at N + 1 > N.
  6. Det er ikke mulig å tenke seg en overgang fra det største endelige heltallet til det første eller det minste uendelige heltallet.
  7. Man kan ikke behandle uendelige mengder analogt med hvordan man behandler endelige mengder.
  8. En teori om tallsystemet må skille mellom det endelige og det uendelige doméne.
  9. Cantors paringsmetode kan brukes til å finne ut om to endelige mengder har samme antall, men ikke om to uendelige mengder har samme antall.
  10. I det endelige doméne er det langt flere heltall enn primtall. Men siden man ikke på noen måte kan finne ut om et uendelig tall er primtall eller ikke, så kan man ikke foreta noen paring mellom uendelige primtall og uendelige heltall. Å snakke om at det er like mange primtall som heltall synes derfor å være helt meningsløst.
  11. Cantors diagonalmetode er ikke gyldig.
  12. Antall heltall og antall desimaltall mellom 0 og 1 er av samme størrelsesorden. Disse desimaltallene er derfor tellbare. c = א0 (alef 0).
  13. I den mengdelære som erstatter dagens mengdelære vil det ikke være forskjellige størrelsesorden av tall (ordet kardinalitet vil ikke forekomme). Men det kan finnes uendelige mange uendelige store tall. Men disse kan ikke uttrykkes med siffer og vil bare kunne forekomme i en fantasiverden. De kan likevel være til nytte, men man kan ikke foreta seg noe særlig med disse tallene.
  14. I en teori om tall, bør man fortrinnsvis holdes seg til konkrete tall. Tall som bare kan forekomme i en fantasiverden bør man helst unngå. Konklusjoner man trekker etter operasjoner på fantasitall kan man ikke ha full tillit til.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s