Et farvel til dagens mengdelære – del 15

Avsluttende bemerkninger

Jeg har gjennom 30 år periodevis diskutert Cantors mengdelære med diverse matematikere, fra Norge, Sverige, Danmark og Nederland. Mange av disse var matematikere av yrke og tilknyttet et universitet. I de siste årene har diskusjonen fortsatt på diskusjonsfora på internett (Skepsis og matamatikk.net). Men med noen få unntak var alle jeg diskuterte med forsvarere av den gjeldende mengdelære. Og jeg klarte ikke å forandre på det. Men noen av disse, og spesielt de profesjonelle matematikerne, kunne bli litt mindre selvsikre etter hvert. De kunne medgi at jeg kanskje hadde rett i noe, men ingen av dem kunne tenke seg å nevne noe om det i sine avhandlinger. Om dette skyldes at de i så fall kunne risikere å ødelegge sine karrieremuligheter er uklart. En kjent matematiker tilknytte UiO innrømmet at den alternative mengdelære jeg foreslo ikke ville ha noen paradokser, og en matematiker ved Universitetet i Trondheim var fullt ut enig med meg i at det er en feil i Cantors diagonalmetode, og gikk god for mitt bevis for dette. De ikke-profesjonelle matematikere var de som var mest aggressive i sitt forsvar for Cantor, og de kunne blir kraftig provosert over mine kjetterske meninger.

En nøytral observatør som følger denne debatten fra utsiden vil kunne si at hvis det er riktig at Cantor og et stort flertall av dagens matematikere er uenige med meg, så det må være mest sannsynlig at det er jeg som har feil. Og jeg må innrømmer at dette er et sterkt argument. Men det minste jeg må kunne vente for å ta min oppfatning opp til ny vurdering, er at de kommer med overbevisende grunner til at jeg tar feil. De må blant annet kunne beskrive en metode for hvordan uendelige mengder kan dannes, og de må fortelle hvordan man kan finne ut om et uendelig tall er et primtall. De må videre komme med en overbevisende utredning om at det er legitimt å operere med tenkte eller usynlige tall og at man kan trekke troverdige konklusjoner av slike operasjoner. Og de må vise at det er mer logisk å gi avkall på det største uendelige tallet enn på at komplette, uendelige mengder kan dannes. De må i det hele tatt imøtegå alle de ovenstående 14 punktene.

Det er betegnende at det er de minst meritterte matematikerne som er sterkest i sin tro på dagens mengdelære. Samtidig er det de som er mest hjelpeløse i sitt forsvar av læren. Og da vil kanskje noen spørre hvilke meritter jeg har å vise til, og som kan si noe om kvaliteten av den matematikken jeg produserer. I all beskjedenhet kan jeg da si at jeg har vært forsker i store deler av min yrkesaktive karriere og har skrevet 18 artikler i fagfelle-vurderte internasjonale tidsskrifter. Så noen må ha tatt det jeg skriver alvorlig.

Hvis dagens mengdelære må oppgis, hvordan vil en ny lære om tallsystemet se ut? Alt som dagens mengdelære sier om endelige tall vil gjelde også i en ny mengdelære. Men mye av det som i dag sies om uendelige tall, vil trolig falle bort. Siden uendelige tall ikke kan uttrykkes med siffer, så vil spørsmålet være om slike tall egentlig kan regnes å tilhøre tallsystemet. Vi kan riktignok tenke oss disse tallene, og også i fremtidens matematikk vil det enkelte ganger være behov for å operere med ekstremt store tall. Og det kan da være hensiktsmessige å kalle slike tall for uendelig store. Men man må da være seg bevisst at det er visse begrensninger forbundet med å bruke disse tallene. Man står ikke fritt til å kunne foretas seg alt man ønsker med slike tall. Og det er ingen ting i veien for at man i ett og samme resonnement kan tenke seg forskjellige uendelige tall, de må ikke alle sammen være like store (jfr. Cantors diagonalmetode). I den nye mengdelære vil det imidlertid ikke være tall av forskjellig kardinalitet. Antall heltall og antall desimaltall vil være av samme størrelsesorden. I fremtiden vil det ikke skrives hele bøker i mengdelære. Alt som kan sies om mengder kan formidles i et enkelt kapittel. Så mengdelæren vil være historie. Men det kan tenkes at det en gang i fremtiden vil bli skrevet bøker om mengdelærens historie.

One thought on “Et farvel til dagens mengdelære – del 15

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s